[高中数学]老师整理了七张图,深度解析圆的基本知识与性质 |
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用微信扫码二维码 分享至好友和朋友圈 点 击 “水沐老师说育儿” 添 加 关 注 “星标”则 是 为 了您 能 快 速 找 到 老师 圆的概念: 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 一、圆及圆的相关量的定义 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法 圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO 2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离): AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO 10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。 11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P): 外离P>R r;外切P=R r;相交R-r 圆的周长是指围成圆的曲线的长度。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14。我国古代数学家祖冲之是第一个把它精确到七位小数的人。 最早解决“轮子滚动的距离与轮子直径之间关系”的方案是测量。获得圆周率的值介于71分之223和7分之22之间的古代数学家是阿基米德。 三、有关圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=s=πr? 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr? /360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 四、圆的方程 1.圆的标准方程 在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是 (x-a)^2 (y-b)^2=r^2 2.圆的一般方程 把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2 y^2 Dx Ey F=0和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2 b^2 相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r. 五、圆与直线的位置关系判断 链接:圆与直线的位置关系(一。5) 平面内,直线Ax By C=O与圆x^2 y^2 Dx Ey F=0的位置关系判断一般方法是: 讨论如下2种情况: (1)由Ax By C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0], 代入x^2 y^2 Dx Ey F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交 如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切 如果b^2-4acr 13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角 19.如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离 d>R r ②两圆外切 d=R r ③两圆相交 R-rr) ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr) 21.定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理 把圆分成n(n≥3): (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 27.正三角形面积√3a/4 a表示边长 28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 29.弧长计算公式:L=n兀R/180 30.扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2 31.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R r) 32.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 34.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径。 老师这里今天整理了一份关于“圆”的基本知识与性质,为了您方便打印老师用了A4纸张尺寸做了排版,您可以将图片保存打印下来留给孩子来进行参考学习。 [该广告由公众号功能自动推送] 如果您在家庭教育中面临困惑不知所措,点击下方图片进入小程序在线与导师1对1咨询。 点击下方图片进入导师求助 推荐阅读: 如果你看到了这篇文章的最后,请相信自己,你一定是一位好学的父母,也请你相信,你一定能给孩子一份温暖而理性的爱,也会活出属于自己的精彩人生。 在你精彩的人生里,你不仅会拥有更好的自己,还会收获孩子的爱,一份怀有崇敬的爱。 我的文字,需要您细细去读!谢谢~~ END 特别声明:以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布,本平台仅提供信息存储服务。 Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services. /阅读下一篇/ 返回网易首页 下载网易新闻客户端 |
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