步骤一：找到决策变量

设 C i C_i Ci​类包装箱厚度 t i t_i ti​厘米，重量 w i w_i wi​公斤，件数为 n i n_i ni​件。

设第一辆车装载 C i C_i Ci​类包装箱 x i x_i xi​件，第二辆装载 C i C_i Ci​类包装箱 y i y_i yi​件（ i i i=1,2,…,7)。

（决策变量是 x i x_i xi​ , y i y_i yi​)

步骤二：找到目标函数

第一辆车剩余空间 Z 1 = 1020 = ∑ i = 1 7 t i ⋅ x i Z_1 = 1020 = \sum_{i=1}^7t_i\cdot x_i Z1​=1020=∑i=17​ti​⋅xi​

第二辆车剩余空间 Z 2 = 1020 = ∑ i = 1 7 t i ⋅ y i Z_2 = 1020 = \sum_{i=1}^7t_i\cdot y_i Z2​=1020=∑i=17​ti​⋅yi​

总剩余空间最小为目标，则目标函数为： m i n Z = Z 1 + Z 2 minZ = Z_1 + Z_2 minZ=Z1​+Z2​

步骤三：找到约束条件

件数满足 x i + y i ≤ n i ， i = 1 ， 2 , … , 7 x_i + y_i \leq n_i， i = 1，2,\dots,7 xi​+yi​≤ni​，i=1，2,…,7 ，且 x i x_i xi​ , y i y_i yi​ 为整数。

各辆车载重为40吨，有：

∑ i = 1 7 w i ⋅ x i ≤ 40000 \sum_{i=1}^7w_i\cdot x_i \leq 40000 ∑i=17​wi​⋅xi​≤40000 , ∑ i = 1 7 w i ⋅ y i ≤ 40000 \sum_{i=1}^7w_i\cdot y_i \leq 40000 ∑i=17​wi​⋅yi​≤40000

各辆车有10.2米（1020厘米）的地方用来装包装箱，有：

∑ i = 1 7 t i ⋅ x i ≤ 1020 \sum_{i=1}^7t_i\cdot x_i \leq 1020 ∑i=17​ti​⋅xi​≤1020 , ∑ i = 1 7 t i ⋅ y i ≤ 1020 \sum_{i=1}^7t_i\cdot y_i \leq 1020 ∑i=17​ti​⋅yi​≤1020

C 5 C_5 C5​, C 6 C_6 C6​, C 7 C_7 C7​ 类包装箱的厚度不能超过302.7厘米，有：

∑ i = 5 7 t i ⋅ ( x i + y i ) ≤ 302.7 \sum_{i=5}^7t_i\cdot (x_i + y_i) \leq 302.7 ∑i=57​ti​⋅(xi​+yi​)≤302.7

总的线性规划模型： m i n Z = ( 1020 − ∑ i = 1 7 t i ⋅ x i ) + ( 1020 − ∑ i = 1 7 t i ⋅ y i ) { ∑ i = 1 7 t i ⋅ x i ≤ 1020 ∑ i = 1 7 t i ⋅ y i ≤ 1020 x i + y i ≤ n i ， i = 1 ， 2 , … , 7 ∑ i = 1 7 w i ⋅ x i ≤ 40000 ∑ i = 1 7 w i ⋅ y i ≤ 40000 ∑ i = 5 7 t i ⋅ ( x i + y i ) ≤ 302.7 x i , y i 为 非 负 整 数 minZ = (1020-\sum_{i=1}^7t_i\cdot x_i) + (1020-\sum_{i=1}^7t_i\cdot y_i) \\ \\ \begin {cases} \sum_{i=1}^7t_i\cdot x_i \leq 1020 \\ \\ \sum_{i=1}^7t_i\cdot y_i \leq 1020 \\ \\ x_i + y_i \leq n_i， i = 1，2,\dots,7 \\ \\ \sum_{i=1}^7w_i\cdot x_i \leq 40000 \\ \\ \sum_{i=1}^7w_i\cdot y_i \leq 40000 \\ \\ \sum_{i=5}^7t_i\cdot (x_i + y_i) \leq 302.7 \\ \\ x_i, y_i为非负整数 \end {cases} minZ=(1020−i=1∑7​ti​⋅xi​)+(1020−i=1∑7​ti​⋅yi​)⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​∑i=17​ti​⋅xi​≤1020∑i=17​ti​⋅yi​≤1020xi​+yi​≤ni​，i=1，2,…,7∑i=17​wi​⋅xi​≤40000∑i=17​wi​⋅yi​≤40000∑i=57​ti​⋅(xi​+yi​)≤302.7xi​,yi​为非负整数​

步骤四：编写程序求解

得到的解为（老师课件中的解）：

x 1 = 6 , x 2 = 2 , x 3 = 9 , x 4 = 1 , x 5 = 0 , x 6 = 0 , x 7 = 0 x_1 = 6, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 9, \quad x_4 = 1, \quad x_5 = 0, \quad x_6 = 0, \quad x_7 = 0 x1​=6,x2​=2,x3​=9,x4​=1,x5​=0,x6​=0,x7​=0

y 1 = 2 , y 2 = 5 , y 3 = 0 , y 4 = 5 , y 5 = 3 , y 6 = 3 , y 7 = 0 y_1 = 2, \quad y_2 = 5, \quad y_3 = 0, \quad y_4 = 5, \quad y_5 = 3, \quad y_6 = 3, \quad y_7 = 0 y1​=2,y2​=5,y3​=0,y4​=5,y5​=3,y6​=3,y7​=0

目标值 Z = 0.6 Z = 0.6 Z=0.6

( x i x_i xi​, y i y_i yi​可以有不同的结果，但是目标值是唯一的)

其中第一辆平板车剩余空间为0.1厘米；第二辆平板车剩余空间为0.5厘米；

我运行的LINGO(LINGO 12.0)程序得出的解为：

x 1 = 5 , x 2 = 1 , x 3 = 5 , x 4 = 3 , x 5 = 2 , x 6 = 2 , x 7 = 0 x_1 = 5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 5, \quad x_4 = 3, \quad x_5 = 2, \quad x_6 = 2, \quad x_7 = 0 x1​=5,x2​=1,x3​=5,x4​=3,x5​=2,x6​=2,x7​=0

y 1 = 3 , y 2 = 6 , y 3 = 4 , y 4 = 3 , y 5 = 1 , y 6 = 1 , y 7 = 0 y_1 = 3, \quad y_2 = 6, \quad y_3 = 4, \quad y_4 = 3, \quad y_5 = 1, \quad y_6 = 1, \quad y_7 = 0 y1​=3,y2​=6,y3​=4,y4​=3,y5​=1,y6​=1,y7​=0

目标值 Z = 0.6 Z = 0.6 Z=0.6

其中第一辆平板车剩余空间为0.6厘米；第二辆平板车剩余空间为0厘米；

LINGO程序代码：