1899年希尔伯特出版《几何基础》一书，对欧几里得几何学的公理体系作了系统的整理，提出了严格的几何公理体系（或称公理化体系，公理系统，公理化系统），采用了三个基本元素（点、直线、平面），五个基本关系（点在直线上、点在平面上、一点介于其他两点之间、两线段合同、两角合同），五组公理（结合公理8个、顺序公理4个、合同公理5个、平行公理1个、连续公理2个）。为明确该公理体系及各公理组间的逻辑关系，提出了公理体系的独立性、完备性和相容性这三个基本问题。并且希尔伯特证明了：只要承认实数算术系统是相容的，则这套几何公理系统是相容的、独立的和完备的。因此，欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。

1900年，希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上作题目为“数学问题”的演讲报告，演讲中提出了23个极有学术价值的问题，俗称“23个数学问题”，对20世纪的数学发展有重要影响。其中的第2个问题就是实数算术公理系统的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

在希尔伯特和他的学生阿克曼合著的《数理逻辑原理》中提到了这样一个问题：在形式系统中，真的命题是否都是可证明的？希尔伯特实际想问的是，数学中是否存在自相矛盾的真命题呢？

希尔伯特对这个问题的答案是乐观的，并且断言：数学中不存在不可解的问题。

1931年哥德尔宣布完成了对不完备定理的证明，结论有两个：

第一，他证明了，任何包含自然数算术的公理系统都是不完备的，存在一些在这个系统中无法证明的命题。也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，那么要么这个系统是自相矛盾的，要么有那么一些结论，它们是真的，我们却无法证明。

第二，他证明了，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们不能在这个系统内部证明它的一致性。这就是希尔伯特第二问题答案的一部分。

不完备性定理要表达的意思是：如果数学是一致的，那么就不可能是完备的，反之亦然，二者是互斥的。这个发现引起了整个数学界的震动，人们认为这个定理打破了希尔伯特的美好愿望。因此大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”

事实上，宇宙是一个真实完备的物质系统，用一个宇宙几何学体系来描述。宇宙是所有物质的总和（如果真有上帝或“第一推动者”[1]和妖魔鬼怪或一切“暗物质”，那么它们都在宇宙中，统称为物质），运动是宇宙所有物质的存在形式。除了宇宙没有任何东西存在，这个概念叫做虚空（假借有形物体来虚构的空间），整个宇宙在虚空中绝对运动。显然，如果系统只有唯一的一条公理，就没有公理之间的矛盾。因为皮亚诺公理在宇宙系统中的真实存在性不可证明，所以，我们用真实物质（实物）的几何形式提出唯一的一条完备的公理：“宇宙只有一个”（即用一个实物的几何形式表示一个完备宇宙的真实存在性），那么根据该公理可推导出完备的宇宙物质量子数（量子是构成宇宙物质的最小成分或最基本单元），该量子数又称为“宇宙自然数”，它一定与皮亚诺公理所定义的自然数不一致。这种方法可称为“整体统一”[2]。例如，

再就是，1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性（一致性），该证明的前提条件在宇宙系统中是否为真亦不可证；如果为真，则一定能够被从公理“宇宙只有一个”推导出。例如，

换言之，宇宙是一个绝对独立而完备的真实物质系统，只有根据唯一的一条公理：“宇宙只有一个”而推导出来的宇宙物质量子数理论体系，才可能是既相容（一致或自洽）又完备（完整）的。宇宙几何学体系的这条公理是必要且充分的。但是，为了从该公理推导出量子数，显然需要新的数学语言——物质的几何学语言，因为既有数学的形式语言所定义的实数概念及其算术命题，其存在性没有严格直观的物质几何形式作为逻辑依据来保证。数学史权威莫里斯·克莱因教授在他的《古今数学思想》一书中说：

不幸的是，当今的数学界至今仍没有在叠合法上把物质自身的可移动性几何化，即仍没有在其数学公理上解决几何图形的可移动性与物质的运动形式不相容（不统一）的问题。因此，在逻辑上所有使用欧几里得几何图形叠合法去证明的全等方面的定理都不成立。于是现代数学中的数轴上的实数理论（康托尔创建的集合论及其连续统假设，其基础是皮亚诺算术公理）以及坐标系有关的空间几何的定理和微积分理论都不成立。

实数是有理数和无理数的总称。无理数 \sqrt{2} 是从边长为单位1的正方形的对角线长不可公度这一事实得出的，但是一直都没有人给出无理数存在性的证明。19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割给出了实数的定义。实数定义为与数轴上的点一 一对应的数，这样就构成康托的实数连续统假设。但是哥德尔认为连续统假设不可证。

关于实数点的定义和存在性，莫里斯·克莱因教授说：“亚里士多德讨论定义。他对定义的想法是符合现代精神的；他说定义只不过是给一批文字定个名。他又指出定义必须用先存在于所定义事项的某种东西来表述。因此他批评‘点是没有部分的那种东西’这一定义，认为‘那种东西’这几个字没有说出所指的究竟是什么，除非所指的可能就是‘点’［例如，除非‘点’所指的是事先给出的实物线段之‘界’］，因而［‘点是没有部分的那种东西’］这个定义并不合适［合适的定义是‘点为实物线段之界’］。”而在公理化数学体系中，“定义了的东西是否存在有待于［从公理出发给出］证明，除非是少数几个第一性的东西诸如点和线，它们的存在是同［观察实物得出的］公理（第一性原理）一起事先为人们所接受的。例如我们可以定义一个正方形，而这个图形可能不存在；就是说，定义中所要求的诸属性可能无法并存。莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）就举出过正十面体这样一个例子；我们可以定义这样一个图形，但它并不存在。如果有人并未意识到这图形不存在就着手去证明有关这图形的定理，那他得出的结果将是胡说一气。”（《古今数学思想》第3章第10节）

虽然爱因斯坦在1953年写给斯威策（J. S. Switzer）的一封回信中吹道：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑系统（在欧几里得几何学中），以及（文艺复兴时期）发现的通过系统的实验有可能找出因果关系。在我看来，中国的先贤没有迈出这两步是没有什么可惊奇的。令人惊奇的倒是，这些发现竟然［在西方］被做出来了。”[4]但先于一切经验而单纯思辨[5]的形式逻辑系统在其理论的根本基础上就与客观存在的物质系统实验观测的经验知识不相容（不统一），这成为欧几里得几何和物理学理论基础上的致命错误。爱因斯坦早在1936年3月发表的《物理学和实在》一文中就指出：

爱因斯坦说过：“一个理论如果要得到人们的信任，就必须建立在可以普遍推广的事实之上。……从来没有一个真正有用的和深刻的理论果真是靠单纯思辨去发现的。”[7]

正如恩格斯《反杜林论》中指出：“只有思想上极其幼稚的人，才会相信数学家的话：第一条线是由点在空间的运动产生的”，此话就是指欧几里得几何学《原本》中单纯思辨的“公设1. 从任一点到另任一点作直线［是可能的］”或“康托尔创建的集合论中与数轴上的点一 一对应的实数系（连续统假设）”这样偷换点与线概念的数学规则，其违反了形式逻辑的同一律，是根本性的逻辑错误。换言之，这种数学规则描述的物质物理过程事实上不存在，但却作为整个现代数学和物理学的根本基础，以至于造成康德哲学中关于物质无穷小量的二难推论，即理论物理学家、诺贝尔物理学奖得主海森堡说：

目前西方的物理学理论发展的状况，仍然如爱因斯坦1940年在《关于理论物理学基础的考查》一文中说：“物理学统一基础的建立看来却的确很渺茫。而且这种情况又由于随后［爱因斯坦与以玻尔为首的哥本哈根学派之争］的发展而更加恶化起来。二十世纪的发展是由两个在本质上各自独立的理论体系来表征的，那就是［宏观的］相对论和［微观的］量子论。这两个体系彼此没有直接的矛盾；但是似乎很难融合成一个统一的理论。”其原因的确主要出在爱因斯坦的相对论理论，即爱因斯坦承认道：“［相对论］这理论直到现在还未提出一个关于物质的原子论性结构的解释。这种失败，也许同它对理解量子现象［即理论描述一个能量子从被体系排斥和发出的分离过程，到被虚量子构成的场物质吸引和接收的积聚作用过程而产生观测信号］至今尚无贡献的这一事实有关。”[9]

所以爱因斯坦批评道：“人们不止一次地提出过这样的意见，认为自然规律未必能用微分方程来描述。事实上，从量子论的观点来看，是否容许体系有这种状态呢？为了有可能回答这个问题，我们应当认为，体系运动的周期［即体系运动的整个过程］，全都只能按照量子规则形成［而非由实数点连续性规则形成］。为了真正证明［即根据公理推导出］量子关系，显然需要——新的数学语言。无论如何，用微分方程组和积分条件来记录自然规律，正如我们今天所做的那样，是同合理的想法矛盾的［即不相容］。理论物理学的基础重新受到震撼，实验要求我们能够在新的更高的水平上找到描述自然规律的方法。新思想要到什么时候才会出现呢？谁要是能够活到那个时候并且能够看到这一点，那该是多么幸福啊。”[10]

值得注意的是，希尔伯特《论无限（On The Infinite）》一文中指出：“事实上，在我们的思想中，已经有一些可以作为应用逻辑推理和实现逻辑处理方法的先决条件的东西，这就是：某些逻辑以外的具体客体，这些客体是直观上作为直接经验而先于一切思维所已存在着的。要使逻辑推理可靠，那就必须对这些客体的所有部分都能完全一目了然，而它们的显示，它们的区别，它们的前后连接或左右并列，则和客体一同是所给予我们的直接直观的东西，这些东西已不可能再简化为其他东西或者需要再加以简化。”[11]但是，希尔伯特公理体系中作为基本对象或元素的“点”已经不是直观上可直接经验的东西了，所以这种“点”以及它所构成的“线”以至于“面”的存在性事实上是没有逻辑依据作保证的，因而它们的相容性是不可证明的。

事实上，可先给出一个实物线段（图1-a₁，称为形与数统一或相结合的“1尺”）作为整个宇宙的几何抽象，再定义线上的点，点为线之界，界之间为形。线有形可分而分之不竭者（又称“量子”，古称“小之微也”或“物之精也”）仍为线。如中国古代学者用“一尺之捶［图1-a₁或图1-a₂，···亦即图1-a₆］，日取其半［以直观上可直接经验的线段对折的自我量度方式定义线段中分点而取损其半，损之又损之］，万世不竭［即有馀］”这种严格直观的形数结合几何学形式的理论推导，深刻入微地刻画整个宇宙内部物质耗损的排斥而量子化的过程，从而证明实物的线并不是点构成的，而是一段又一段微小的线（称为“量子”）构成的。

莫里斯•克莱因教授说：“亚里士多德认为公理是从观察实物（物理对象）得出的，它是直接为人们所理解的一般性认识。”（《古今数学思想》第3章第10节）就是说，公理是根据物质实践的感性经验得出的。脱离了感性经验的认识是不可能的。实事求是[12]，是建立科学理论的根本遵循。

现在，我们取用一条直的草茎——线段AB（即抽象的图甲–a₁）为个别实物，接着对图甲–a₁施以一定形式的对折或自我量度（运动），则得图甲–a₂（动与不动的关系）。在图甲–a₂的基础上又对折，则得图甲–a₃（绝对动与不动的关系）。从而获得了直接经验的感性认识，即在图甲–a₃中：

② 能够同整个现实世界（现实宇宙）AD重合相等的不动者DC，是而且只能够是整个现实宇宙于虚空中的容身处所。

③ 绝对不动者CB，是而且只能够是整个现实宇宙AD绝对运动的场所——虚空。

　　在具备了以上实践经验的感性认识后，中国人便经验方法地绳直图甲–a₃，而得图甲–a₄。在图甲–a₄中，整个现实宇宙AD显现出唯一的物质态，即中国人的实践唯物论。（毛泽东《实践论》：“离开实践的认识是不可能的。”）于是，中国人的认识论便从认识的低级阶段——感性认识的基础上，开始升华而发展到了认识的高级阶段——理性认识，从而提出了唯一的一个出发点——假设、原理或

　　　　公理：“宇宙只有一个”，

以定量地刻画整个现实宇宙（即图甲–a₅），数、形统一或相结合几何方法地探索和求解现实宇宙的各种运动，及其运动的形数结合几何学的形式规律表现。

　　整个宇宙发展过程中的各种运动无非是下述两大方面：一方面是整个宇宙的整体（图甲–a₅中的实者）在虚空中的运动——绝对运动（图甲–a₆，······）；另一方面，就是整个宇宙（图甲–a₅中的实者，即图1–a₁）内部的各种运动——相对性运动（图1–a₂或图1–a₆，······）。

　　根据图甲-a₅，则得图甲-a₆及图甲-a₇；图甲-a₇为宇宙容身于虚空第一步程的状态。宇宙运动离开图甲-a₇的容身处所而运动一个步程，则得图甲-a₈；再运动一个步程，则得图甲-a₉。把图甲-a₉刻画的宇宙绝对运动的整个过程看作一个整体，则可表示为图甲-a₁₀；图甲-a₁₀亦可表示为图甲-a₁₁（其原型为图甲′-a₃）。图甲的原型是图甲′，即图甲-a₁₀中的1/3循环节的实线段叠合到1/3循环节的虚线段上作为周而复始的一步继续度量，则还原成闭环上的循环度量模型（图甲之于图甲′）；其具有向下的和向上的相邻分枝过程。此即宇宙整体绝对运动具有三过程循环无限的形数结合几何学形式规律表现。同理，可进一步导出宇宙任一分枝过程皆三阶段发展的形数结合几何形式规律表现（图乙之于图丙）。

　　大家都知道，“昔”字的含义是过去的时间、过程（former time，past）。甲骨文“昔”字的字形由二、三条折线和“日”部构成。但几乎没有人知道，《说文解字》“日，实也”就是指“昔”字的“日”部本义是以外框强调凸显其中的度量几何单位“一”是一个实物线段“一尺之捶”，用来作为整个宇宙的几何物理抽象；即《说文解字注 · 一》记载的“一，惟初大极，道立于一”，“大极”者无非是整个宇宙的几何物理抽象。甲骨文 “昔”字中的两三条折线则表示单位“一”在表示虚空的路线上循环度量的记录：n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, ……（七步程循环无限态的六进位制记数法）。“昔”字的这种字形诠释了一个单位“一”循环无限进动周行而不殆的宇宙时空度量几何学模型（图乙之于图丙），这就是物质运动与时间和空间关系的理论起源。

　　根据公理“宇宙只有一个”，将图乙-a14与图甲-a7中的宇宙之形并二合一（如图丁的右侧），即可导出综合的宇宙整体绝对运动三过程循环无限及其任一过程皆三阶段发展规律（表1之于图D）。图D中处于竖直线上方的宇宙（.1循环数实线段）每进动一步，则宇宙所经历的虚空步程数逐次加1，即可推导出十进位制循环无限记数法（见图C中的甲骨文数字），用来记录宇宙整体在虚空路线上绝对运动所经历的步程数序列n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ……（亦即刻画宇宙过程的时间顺序数列）。

　　在这里，值得注意的是，皮亚诺算术公理以其“后继者”所定义的自然数，其性质虽可说与上述的虚空序数列n大致相当，但其“后继者”用了运动的概念，而这是没有逻辑依据的，因此它不是物质物理意义上的自然数。

《易•說卦》中记载：“ ‘昔’者，聖人之作，《易》也。”《周礼•春宫•大卜》中记载：“掌三易之法：一曰连山，二曰归藏，三曰周易。”

这里说的“昔”者，即是指甲骨文“昔”字（图A）的字形所诠释的循环度量几何学模型，其为古代先贤圣人所掌“三易之法”中称为“周易”的一种，最早被以十进位制记数符号及其循环无限记数法明确记录在甲骨文中（图C），可以看作是远古文明时期的宇宙大一统数学科学历史的源头。

　　《普通高中教科书·物理必修 第一册》的序言中说：“物理学：研究物质及其运动规律的科学”[13]。

　　爱因斯坦说：“我们所说的物理学，包括这样一类的自然科学：它们的概念是以量度作为根据的；而且它们的概念和命题能够用数学形式来表示。因此，在我们全部知识中，那个能够用数学语言来表达的部分，就划为物理学的领域。随着科学的进步，物理学的领域扩张到拥有各个分科的程度，它似乎只受这种方法本身的界限所限制。……另一方面，从一开始就一直存在着这样的企图，即要寻找一个关于所有这些学科的统一的理论基础，它由最少数的概念和基本关系所组成，从它那里，可用逻辑方法推导出各个分科的一切概念和一切关系。这就是我们所以要探求整个物理学的基础的用意所在。认为这个终极目标是可以达到的，这样一个深挚的信念，是经常鼓舞着研究者的强烈热情的主要源泉。”[9]

　　中科院物理所的曹则贤教授在《“新年悟理”2021跨年科学演讲：什么是相对论？》[14]中说：“物理学主角就三个东西，时间、空间、物质，当然最后都是落到物质上。物质本身的存在让我们有位置或者有空间的感觉，而位置的变化就是运动，让我们有时间的感觉。”他还说：“1，2，3，4，5，6 这些数是有几何的，即‘数’的几何。……请大家记住，物理学是几何学！”

　　爱因斯坦在1936年发表的《物理学和实在》一文中指出：“我们的感觉经验，更概括地说，我们的一切经验都有一个重要性质，那就是它们的时间次序。这种次序导致主观时间这种心理概念，把我们的经验排成一个有秩序的纲目。然后主观时间通过有形物体概念和空间概念导致客观时间概念，就如我们以后会看到的那样。可是在客观时间观念之前，先有空间概念；而在空间概念之前，我们又发现有形物体的概念。后者是直接同感觉经验的复合相联系的。我们已经指出，作为‘有形物体’观念的特征的是这样一种性质：它使我们把观念同一种存在对应起来。”[6]事实上，正是我们分辨出有形物体的“状态的改变”或“位置的变化”。这些运动形式让我们有（主观的）时间的感觉，也正是这种（主观的）时间观念表明了我们的感官所知觉到的运动者存在。

　　运动是物质的存在形式，几何上为了刻画物质的运动，必须有一个不动者作为参照。就是说，物质的存在性以动与不动的几何学形式相对性关系来辩证地描述：能够运动的是物质，没有物质就没有运动，则不动者只能是空无一物而称为空间。譬如将容器中所有之物移除，则该容器中为空，空者不能动。这就从有形物体的运动形式引入了绝对不动的虚空（假借有形物体虚构的几何空间）的概念，作为宇宙所有物质运动的虚构场所和容身处所。接着刻画物质在虚空中运动所经历的步程，就有了时间的概念。换言之，在几何学中，时间的概念无非是刻画宇宙所有的物质构成一个整体而同步在虚空路线上运动的过程——绝对运动的过程，就如我们以后会看到的那样。严格讲，物理学本质上是物质的几何学。

　　物理学的理论界都知道，爱因斯坦和玻尔为首的两大物理学派之间的争论主要在于两点：定域性和实在性原理。即定域性因果原理规定“任何物理效应都不可能以大于光速的速度传递”，客观现实存在性原理为保证“无论被观察与否都同样存在着一个现实”而引入一个隐变量（隐变量就是未被知晓的物理量的统称）。

　　哥本哈根学派的波恩和海森堡在1927年第五次索尔会议报告中说：“我们主张，量子力学是一种完备的理论，它的基本物理假说和数学假设是不能进一步修改的。”对此，十多年后爱因斯坦在1939年8月9日写给薛定谔的信中还说：“我仍旧确认物质的波动表示是实在状态的一种不完备的表示，尽管实际上已证明它本身是多么有用。揭示这一点的最妙的办法就是你所提出的关于猫（同‘杀猫’装置结合在一起的放射性衰变）的考查。……我仍旧认为，这种最值得注意的情况之所以会发生，是由于我们还没有得到一种关于实在状态的完备的描述。这种观点已经使我陷入十分孤立。我已经把它带到一种可以说是真正数学理论的地步，不过对它的检验自然是很困难的。”[15]

　　但几乎所有的物理学家们都忽视了一个体系性的问题，即1935年爱因斯坦等人发表的“EPR论文”提要中说：“在一种完备的理论中，对于每一个实在的元素都该有一个对应的元素。使一个物理量成为实在的，它的充足条件是：要是体系不受干扰，就有可能对它作出确定的预测。”[16] 在量子力学里，这个不受干扰的体系是也只能够是整个现实宇宙，否则体系就至少会受到量子干扰，因为量子是构成整个宇宙内部物质相互作用的最小微量成分或最基本单元。所以，定域性和实在性的定义必须修改为：

实在性——无论被观测与否都同样存在着一个现实宇宙。

　　这就发现或得到了一个理论初始假设或公理：“宇宙只有一个”，作为建立宇宙定域完备量子理论的统一基础或唯一出发点。若此，整个宇宙就是一个明确的定域显变量，任何物理效应都不可能超出宇宙；而且无论被观测与否都同样存在着一个现实宇宙，并不需要其它的隐变量。宇宙是一个完备而绝对孤立的物质系统，运动是整个宇宙的存在形式。

关于宇宙内部的相对性运动，我们以整个宇宙（图1-a₁）为实验对象，即对图1-a₁施以一定形式的对折自我量度（运动），则得相对运动态的图1-a₂。经验地绳直图1-a₂，则得标量态的图1-a₃。将该标量态的图1-a₃，变换成矢量态的图1-a₄，是可能的。

运动是整个宇宙的存在形式。表整个物质宇宙的图1-a₄绕自身中心平旋两个直角，则得图1-a₅；图1-a₅绕自身中心平旋两个直角，则得图1-a₄；这种无休止而永恒的整体自旋，即整个物质宇宙于虚空中的运动（绝对运动），但这整个过程却具有形、数结合左右内向的对称（图1-a₆）。因为，宇宙整体自旋之绝对运动总是否定图1-a₄和图1-a₅的定量形式，而具有图1-a₆的定量形式表现。

在上述的逻辑推导过程中有以下几点值得注意：

正如列宁《哲学笔记》中说：“统一物［即图1-a₁，宇宙统一于物质］之分为两部分［图1-a₃］以及对它的矛盾［图1-a₆］着的部分［图1-a₆的右侧或左侧的物质最小微量及其动向变换］的认识，是辩证法的实质（是辩证法的‘本质’之一，是它的主要特点或特征之一，甚至是它的最主要特点或特征）。”

事实上，先秦时期中国的先贤已经发现，真正数学理论中几何图形度量（运动）的叠合法必须建立在物质实践感官经验的（感性认识的）物有形、再为形配数所得的形数统一或相结合几何学形式明确定量表述的公理：“宇宙只有一个”的基础上（图甲），或者欧几里得几何学的叠合法必须用可具体操作的物质量杆对折自我量度（运动）这种探讨全等的方法（图1）来代替。

前述图甲和图1中的经验事实表明，可先给出现实存在的实物线段，再定义线上的点，点为线之界，界之间为形。根据形式逻辑的同一律，线有形可分而分之不竭者（称为“量子”或“物之精也”）仍为线，而不可为点或点的集合。即《庄子·秋水》中说：“夫精［细微小］粗［大］者，期［度量求解］于有形者也。无形者，数之所不能分也。不可围［即无界］者，数之所不能穷也。可以言论者，物之粗［大者］也。可以意致［推理求解］者，物之精也。”若此则不难设想，中国古代学者按照形数结合几何学形式严格直观的“一尺之捶［实物线段，作为整个宇宙的几何直观抽象，即图甲-a₅中的实者，亦即图1-a₁或图1-a₆］，日取其半［以线段对折的自我量度方式定义线段中分点而取损其半，损之又损之］，万世不竭”这种几何物理方法，可精确求解得宇宙物质一次又一次地不断分割下去最终的无穷小微量——量子。详述之则为：

运动是物质宇宙的存在方式。表整个物质宇宙的图2-a₆（即图1-a₆）内部的相对性运动只能够首先是内耗的排斥，其几何形式表现只能够首先是形、数结合的几何分形及其张量态。即：

（1）几何分形。对图2-a₆施以实取损[或耗损]其半，则得图2-a₇；接着对图2-a₇实取损其半，则得图2-a₈；对图2-a₈施以通分，则得图2-a₉；将图2-a₉一般化，则得图2-a₁₀。

（2）几何分形的张量态。对图2-a₁₀施以几何物理方法（俗称“数学物理方法”）的张量运算，即将图2-a₁₀扩大2ⁿ倍，则得图2-a₁₁，以描述宇宙的暴胀；接着将图2-a₁₁扩大2倍（2是张量的最小整数），则得图2-a₁₂，以描述宇宙的膨胀，其张之入微而不可再张，即宇宙内部物质混沌运动的暴胀和膨胀过程无为而终。将图2-a₁₂展开，则得平面态的图2-a₁₃，亦即图ψ1。

在图2-a₁₂及其展开的图2-a₁₃（即图ψ1）中，量子就是构成整个宇宙物质系统的几何最小微量成分或最基本单元，与图2-a₁₂及其展开的图2-a₁₃中的实者大小相等，古称“则”，即“等画物也”（《说文解字》：“则，等画物也”）。《淮南子·诠言训》：“夫无为，‘则’得于一也，一也者，万物之本也［度量宇宙物质的最基本单元］，无敌之道也”。《庄子·缮性》：“道，理也”；《说文解字 · 一》：“一，惟初大极［惟初即理性思惟初始，大极者宇宙也］，道立于一［宇宙几何学理论建立在公理‘宇宙只有一个’的基础上］”。

几何直观表明，物质的量子是用形数结合几何学形式的量子数（图2-a₁₂及其展开的图2-a₁₃，又称“物质的自然数”）来刻画或表征的，量子数可以是整数（图2-a₁₂中的数）或半整数——图2-a₁₃中的数。这种完备的宇宙自然数或物质量子数为真，而且与皮亚诺公理所定义的自然数不一致。

恩格斯《自然辩证法》中说：“我们所面对着的整个自然界［图2-a₁₂及其展开的图2-a₁₃］形成一个体系，即各种物体相互联系的总体，而我们在这里所说的物体，是指所有的物质存在，……这些物体是互相联系的，这就是说它们是相互作用着的，并且正是这种相互作用构成了运动。”又：“数学——辩证的辅助工具和表现形式。”

哥德尔不完备性定理也表述为：“对任何关于皮亚诺自然数结构的有限个公理Σ，存在一个关于皮亚诺自然数的命题ϕ，ϕ是逻辑真的，但ϕ不能由Σ推出（证明）。”即表明ϕ的逻辑存在性（逻辑真）不可证明。其实，皮亚诺公理所定义的自然数的事实存在性亦未经证明。

宇宙是一个完备的真实物质系统，运动是整个宇宙的存在形式。对用真实存在的个别实物运动的几何学形式（图1-a₁或图1-a₆，亦即图2-a₆）明确定量表述的一个公理Σ——“宇宙只有一个”（即用形数结合的图1-a₁或图2-a₆表明整个物质宇宙的存在性），存在一个关于宇宙自然数的命题ψ1——“宇宙自然数是几何内向对称的算术整数系统（图2-a₁₂及其展开的图2-a₁₃，亦即图ψ1），它刻画整个宇宙内部物质离散的排斥过程最终状态”，ψ1是真的，则ψ1只能由公理Σ推出（证明）。这个结论叫做宇宙自然数完备性定理。

上述描述物质相互作用的量子数或自然数系统，可以完整解释物质系统从整个宏观宇宙到微观量子过程所有的可观测量的演化行为，从而避免掉任何不确定性或概率性。

以对量子纠缠现象的理解为例，在量子力学中，描述物质实在状态的波函数ψ的表达形式——代表“死”的那部分波函数同代表“活”的那部分波函数等值地混合在一起。爱因斯坦坚持认为物质实在状态的波动函数表示是不完备的。详情可参见《爱因斯坦文集》第一卷382页，该页为1939年8月9日爱因斯坦给薛定谔的信，其中谈到薛定谔关于猫（同‘杀猫’装置结合在一起的放射性衰变）的考查。薛定谔用一个“杀猫”的理想实验揭示波函数ψ的不完备性，意思是讽刺玻尔派的波函数所提供的对客观实在状态的描述，就像可观察到死和生（活）状态同时叠加在一起的猫；但现实中像这种猫一样的物质物理过程是不存在的，因为物理学中任何状态的转变都是描述一个过程：运动。其实，只要把上述波函数ψ中的“死”、“活”两部分内容分开为ψ1（描述“死”的状态）以及ψ2（描述“活”的状态），用严格直观的几何形式（防止实数理论以及微积分运算偷换点与线的概念）来描述就清楚了，如：ψ1=图ψ1=图2-a₁₂=图2-a₁₃=图3-a₁ （死）；ψ2=图ψ2=图3-a₂（活）。

在描述宇宙系统内部物质运动的图3中：

　　事实上，中国古代的先贤已经解决量子“死、生”状态纠缠不清的问题。换言之，量子“死、生”状态怎样严格区分确定的问题，是作为物质运动的过程来描述的；任一物质过程终结（死），则有下一相邻过程开始（生）。即《庄子·知北游》：“生也死之徒，死也生之始，孰知其纪！［譬如］人之生，气之聚［量子吸引凝聚］也。聚则为生［量子引力发生，即ψ2］，散则为死［量子排斥过程终结，即ψ1，亦即图2-a₁₂或图2-a₁₃］。若死［即ψ1］，生为徒［即ψ2］，吾又何患！故万物一也［宇宙统一于物质］。”在这里，死、生状态转变用量子宇宙（ψ1）的局域等值变换或几何整数微分（ψ2）来描述，ψ1表征宇宙物质量子化耗散的排斥过程终结（死）的离散平均态量子场物质；ψ2表征量子之间凝聚的吸引相互作用出现，从而量子凝聚形式宇宙过程开始（生）。

　　将图ψ1（即图3-a1）中的几何整数连续（无序而不可集）的最小微量分出，则得整数最小微量分离（不连续）而有序的可集（可积）系统（图ψ2或图3-a2），称为局域等值变换或几何整数微分，表整个宇宙物质量子化过程（图1）已经终结而转变为量子凝聚形式宇宙过程（图3-a2，……）开始的状态。

　　恩格斯说：“在自然界［图3-a₁，即图2–a₁₂］中，质的变化［按：即“形”（物质的几何形式）的变化］——以对于每一个别场合［如过程转变的场合］都是严格地确定的［局域等值变换或几何微分（图3–a₂）的］方式——只有通过物质或运动（所谓能）的量的增加或减少才能发生。”[17]又：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。”[17]此微分只能是物质的几何微分（图3–a₂），其与现代数学中单纯思辨的微分几何不是一回事；或者说，唯有几何微分才能严格直观地刻画微观量子物质从图3–a₁状态转变为图3-a₂状态的过程：运动。

　　运动是物质的存在方式。《庄子·秋水》中说：“夫精，小之微也［量子也］；垺，大之殷也［场物质构成的量子宇宙也］。故异变［量子离散转变为凝聚］，此势之有也。”宇宙内部物质量子化耗散的排斥相互作用过程一旦终结（图2–a₁₂或图ψ1，即图3-a₁或图4-a_{1}），则只能转变为量子凝聚的过程开始，并由于量子吸引相互作用出现（图ψ2，即图3-a₂或图4-a_{2}）而开始量子凝聚运动的过程；换言之，一旦量子吸引相互作用出现（图ψ2，即图3-a₂或图4-a_{2}），则表征量子化耗散过程已经终结而凝聚过程开始。

量子凝聚形式宇宙过程用几何整数无穷集合（积分）的有限多个步骤的量子迭合代替运算（即图3-a₂、图3-a₃及图3-a₄，简称量子“迭代”）来描述，显然，ψ2（图3-a₂或图4-a₂）是其迭代过程的初始条件或边界条件。

中国古代学者对量子迭代运算的表述是几何物理方法的“天之道损有馀而补不足［即‘有馀者，损之；不足者，补之’］”（图3或图4），“有馀者，损之”表述宇宙量子过程转变的几何整数微分（图3-a_{2}，即图4-a_{2}）；“不足者，补之”表述几何整数无穷积分，即表述量子凝聚形式宇宙过程的量子迭代运算，直观地将图3-a₂分出的几何整数最小微量补回，以表明宇宙物质守恒和完备性。

几何直观表明，图4-a_{2}中的2^{n}可被2整除尽，于是可用有限多个演绎步骤的几何内向迭合代替（简称“迭代”）推导出几何整数无穷积分有完整解，以刻画量子无穷凝聚形式宇宙过程最终凝聚至极（即图4-a_{8}）。其迭代的第一步是图4-a_{3-1}至图4-a_{3}及图4-a_{4}，迭代的第二步是图4-a_{5}及图4-a_{6}，迭代的第三步是图4-a_{7}及图4-a_{8}。上述三步迭代刻画了宇宙量子无穷凝聚（量子宇宙收缩和坍缩）至极。这就证明了整个宇宙的质化为量过程（图1和图2）转变为量化为质（图4）及质守恒的规律（简称量变质变规律）。

　　几何直观表明，图4-a_{8}是整个宇宙物质矢量内积态（即凝聚态）的几何最小单位。展开图4-a_{8}，则得图4-a_{9}。图4-a_{9}读作：点为线之界的矢量内积平面单位1（两相交直线决定一个平面）。根据公理：“宇宙只有一个”，可将图4-a_{9}变换成图4-a_{10}。图4-a_{10}读作：线为面之界的标量内积正方形面积单位1²=1平方面积单位。在这里，（图4-a_{8}）=（图4-a_{9}）=（图4-a_{10}）定义为整个宇宙内部物质的基本粒子态的几何结构形式表示。值得注意的是，粒子的标量态的几何表示（图4-a_{10}）隐藏了粒子的矢量态（图4-a_{8}或图4-a_{9}）内部的对称性。

　　所以，无理数\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2} 只能作为1个虚构面积为2的正方形边界；而不能作为表示宇宙内部凝聚态物质的2个真实面积单位正方形之界而存在，更不能作为表示真实物质内容的长度数存在，因为我们用界之间的形和数统一表示真实物质内容。换言之，物质的2个面积单位正方形是用1个面积单位正方形度量出来的，而非1个面积为2的正方形，故不必要有一个面积为2的正方形的边长 \sqrt{2} 。我们用面积的这个性质就可以构造出度量真实粒子物质区块的平方可和无限度量平面空间，以描述凝聚态区块物质粒子之间的各种相互作用构成的运动。

　　潘建伟院士说：“量子就是构成物质的最基本单元，是能量的最基本携带者，不可再分割。”[18]确切地说，量子是根据宇宙物质无限分割求解得的离散混沌态物质的最小成分或最基本单元，量子凝聚才可能形成基本粒子。所以，基本粒子的概念则用来描述量子凝聚而形成的凝聚态物质。在纯数学上讲，“基本”就是一个一定形式的度量单位或单元。若干单元粒子可组成复合粒子或粒子群，因其各单元粒子之间相互作用而表现为一定的稳态结构，留给我们的事情只是求解这种相互作用的空间几何形式和数值定量关系。“基本粒子”就是复合粒子或粒子群中的度量基本单位或单元。比如，若“希格斯粒子”赋予其他粒子以“质量”，那么“希格斯粒子”就是“质量”的度量基本单位。而度量本身就是物质运动的几何学形式表现。

　　大家知道，黎曼猜想、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想中皆涉及素数（质数）。关于黎曼猜想，黄逸文说“这是1900年希尔伯特提出的23个唯一未被解决的问题，也是数学中最重大的未解决的难题。1859年，德国数学家黎曼（Riemann）在提交给柏林科学院的论文中提出一个猜想，试图完全回答数学中最古老的问题之一：素数在自然数中的分布规律。早在公元前350年，欧几里得（Euclid）已经证明了素数的个数有无穷多，但是对其分布的规律却一无所知。”[19]

　　中国数学会[微信号] 2018-04-25刊载Martin Weissman的题为《素数研究是数论永恒的课题》一文中说：“数学家欧几里德（Euclid）在公元前300年写道：‘只能为一个单位量测尽的数是素数。’ 这意味着质数(素数)不能被除了1之外的任何数字整除。”[20]

　　这意味着素数是在除了单位1之外的算术的整数中产生的。产生素数的数，即除了单位1之外的算术的整数，都是1个单位量测（运动）产生的。但是，在空间中能够运动的是物质。

　　所以，素数问题是物质的几何单位1在空间中度量（运动）所得之数的几何学问题。换言之，素数问题是物质的几何学问题。素数是在——除了单位1之外的算术的整数的几何空间——即几何单位1自发破缺的整数空间中产生的，因为这个几何单位1是用来度量整个宇宙物质存在的。所以，素数问题唯有在自发破缺了单位1的宇宙物质的算术整数空间中才可求得其确定的解。

　　宇宙几何学的研究表明，素数问题，是宇宙学中的纯数学表示论（即宇宙数论）的最后一个问题。它最终解决宇宙统一场论中物质的原子论性结构的数学表示。即，以分立素数的形数结合几何学形式，表示整个宇宙标准原子及其亚原子内部的凝聚态粒子物质区块单元之间的相互作用之于量子场的统一场论，这些粒子物质区块单元组成宇宙距离阶梯态相互作用结构（图5）的几何图形。

　　王贻芳院士说：“我们用标准模型描述这个世界，已经走到了尽头。有一些根本的问题，牵涉到我们对于时空观念的认识，需要有根本的变化。这里面的核心都跟希格斯粒子有关。希格斯粒子跟我们对于真空的理解有关，我们实际上并不理解真空到底是什么。希格斯粒子的质量是一个极其奇怪的数值，这个数值使得真空处于亚稳态。我们无法想象整个世界处于不稳定的真空里面，它不是绝对的不稳定，而是亚稳态，处于稳定和不稳定之间。”[21]

　　其实，真空须从严格的度量理论来理解，所谓“无法想象”只不过是没有找到它的度量几何形式。如果我们用一个平面内积正四边形平方单位1表示基本粒子物质区块，即可构造出宇宙自发真空或对称性破缺的无限平面度量空间——可重整化的平方可和空间。事实上，在无限平面上截取正方形面积1²=1内积平面单元，作为宇宙空间的粒子物质区块平方面积的度量单位1，将其绕某一边翻转并叠合到无限平面上，以度量相邻部分的面积，接着以可操作的方螺旋取向不断重复这种度量，则可度量得一列连续的面积数F=⿰，2, 3, 4, 5, 6, 7, ……（“⿰”为1的真空），几何直观表明这列面积数F（序列）没有零点，其几何形式则构成一个自发真空和对称性破缺的平方可和无限平面度量空间，即这种度量（运动）的基本单位1（1内积单元）最初所在之处“⿰”必发生破缺（否则不存在度量），该破缺即是宇宙无限平面度量空间的自发真空和自发对称性破缺。

　　接着，在 F 空间上可求解得宇宙标准原子内部以分立质数（素数）定态的几何学形式表现的正、反粒子物质分立相互对抗着的群态的所有粒子；接着是标准原子内部粒子群对立对抗之统一的动态——即宇宙标准原子内部粒子群因对立对抗而裂变为亚原子内部统一粒子的群态结构，其粒子之间的强相互作用和弱相互作用依次出现之于伴随裂变而产生的辐射物质量子场并构成的宇宙距离阶梯（图5）的运动形态；接着出现阶梯垂直条的粒子之间横向短程的吸引和所有粒子随之坍缩的作用（简称“吸引相互作用”），以至于整个宇宙坍缩至极（每相邻两个粒子都有抵触）而转变为电磁暴账（宇宙时间T=0）和膨胀（宇宙时间T>0）的作用（简称“电磁相互作用”）。

　　上述的宇宙亚原子内部粒子之间的强相互作用、弱相互作用、吸引相互作用、电磁相互作用（简称“强、弱、引、电”）这四种相互作用（力）依次出现之于宇宙背景辐射物质量子场，即是西方的现代物理学界欲求而不得的所谓的“统一场论”宇宙几何学模型（同构模型）。该模型与天文观测既有成果实证的宇宙距离阶梯（图5）相对照而吻合，又与高能物理实验探测既有成果实证的物质基本粒子之间的相互作用的动态表现相对照而吻合。并可作出暗物质一定存在于宇宙距离阶梯的第①垂直条下方补足其天文观测缺失部分的位置，以及物质四极矩和多极矩、测不准关系、 Z^0 粒子和 W^\pm 粒子的相互作用结构出现在宇宙距离阶梯某相邻垂直条之间的一定位置等的理论科学预言[22]。

　　其实，预言存在于宇宙距离阶梯第①垂直条的下方的暗物质，是相对于宇宙最亮星系而言最暗的超级星系团物质。一个超级星系团在上述新宇宙理论模型中表现为一个基本粒子。美国科学家布鲁门撒尔曾说：“突然我们发现，宇宙中最小的天体——基本粒子，可能决定最大的宇宙天体——超星团的结构，这无疑是一种美好的设想，可能也是正确的。”[23]

　　物动学是中国本土的传统理论科学。在人类文明史发展的进程中，探索和求解客观宇宙整体的运动（绝对运动）、整个宇宙内部的运动（相对性运动），及其运动的公理化的形、数结合几何演绎体系的形式规律表现的理论科学，叫做物动学。

　　物动学源于人类原始文明的简单的物质实践，以找到宇宙物质理论的出发点——假设或公理：“宇宙只有一个”，进而以该公理为整个理论的依据，演绎推导出各个历史时期一脉相承的那些结论——远古文明时代的结论、古代文明的结论、现代文明的结论，然后将其结论与现代实践观测（综合的天文观测和高能物理观测）的经验知识相对照而吻合，并作出理论科学的预言。

华罗庚《数学的用场与发展》：“对宇宙的认识还将有多么大的进展，我不知道，但可以说，每一步都是离不开数学这个工具的。”华罗庚猜想道：“是否有一个统一的处理方法，把宏观世界和微观世界统一在一个理论之中，把四种作用力统一在一个理论之中，这是物理学家当前的重大问题之一。不管将来他们怎样解决这个问题，但是在处理这些问题的数学方法必须统一。必须有一套既可以解释宏观世界又可以解释微观世界的数学工具。数学一定和物理学刚开始的时候一样，是物理学的助手和工具。在这样的大问题的解决过程中，也可能同牛顿同时发展天体力学和发明微积分那样促进数学的新分支的创造和形成。” 可以说，上述的华罗庚猜想，是数学历史上最伟大的科学猜想。

大家都知道，数学的基础是数论。但是，当今几乎没有人知道，数论的根基是整数的几何理论，其整数首先是以实物的形、数统一或相结合几何学形式（纯数学形式）开始定量刻画整个物质宇宙的数“一”（图甲–a₅，绝对动的一之形表整个宇宙）。事实上，中国古代的学者提出了公理“宇宙只有一个”，作为宇宙几何学形式理论演绎体系的统一基础或唯一出发点，从此开创了一门宇宙几何学形式的数论学科，以定量刻画整个宇宙的各种运动和规律。若此，将促进实事求是的纯理论数学守正创新，引领未来世界科学理论发展新方向。

以下有关证明论的词条解释源自《辞海》微信版

证明论，又称元数学，由德国数学家希尔伯特首先提出，是研究数学系统（数学理论体系）的逻辑结构和证明规律的学科，其主要目的是为了证明数学系统的公理的相容性（亦称“协调性”、“一致性”或“无矛盾性”）。内容主要包括系统的相容性、完全性和判定问题等。证明论经过哥德尔和根岑（Gerhard Gentzen，1909-1945）等人的研究而得到发展，成为数理逻辑和数学基础的重要分支。

证明，又称立论，是指根据已断定为真的一个或一些称为“公理”的命题，运用推理来确定另一命题为真的思维过程。系统中公理的个数越少越好。只有进行证明，才能使一个命题的真实性得到确定。证明较之一般论证的区别仅在于：它主要用正面的论证于判明论题的真，通常运用有效的演绎推理（即必然性推理——前提蕴涵结论的推理。也就是说，从真前提能必然得出真结论。遵守逻辑规则的演绎推理、完全归纳推理等都属此类）作为论证方式。也有对“证明”与“论证”不作区别的。（论证，是指由断定一个或一些命题的真实性，通过推理确定另一命题真实性或虚假性的思维过程。由论题、论据、论证方式组成。有直接论证和间接论证、演绎论证和归纳论证等。）