Thomas

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介绍

关于级数，我们最关心的就是它是否收敛，在之前的文章中已经介绍了一种判断级数敛散性的方法——通过判断部分和(partial sum)的敛散性来得出级数是否收敛，如果我们不能写出部分和的通项公式，则通过nth-term test判断级数的敛散性。

调和级数(harmonic series)

调和级数(harmonic series)是P级数(P-series)的一种，形如下图：

调和级数中 $a_{n}$ = $\frac{1}{n}$ ，根据nth-term test是无法判断调和级数的敛散性的。

根据定理6的推论，调和级数是发散的。

积分测试

这个类似于调和级数的级数收敛吗？

我们通过与 $\int_{1}^{\propto }\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )dx$ 比较来确定上面级数的敛散性，为了进行比较，我们将上面级数的项看作函数 $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$ 的值，然后把函数值作为矩形的右顶点，底部x轴宽度看作是1，所以矩形的面积还是函数值，也是级数各项的值。

因此， $\sum_{n = 1}^{\propto }(\frac{1}{n^{2}})$ 的部分和被2限制，所以，该级数是收敛的。

积分测试的定义

定义的翻译比较拗口，简单地讲，积分测试的定义有这样几个前提条件(premise)：1、数列{ $a_{n}$ }各项都是正数。2、 $a_{n}$ = f(n)。3、函数f(x)对于所有x $\geq$ N(N是一个正数)连续、大于零并且递减。满足这些条件，则级数 $\sum_{n = N}^{\propto }$ $a_{n}$ 和积分 $\int_{N}^{\propto }$ f(x) dx 都是收敛或发散。

证明：假设条件中的N = 1(对一般的N的证明也是相似的)，函数f(x)是递减的并且对所有的n， $a_{n}$ = f(n)，使函数值等于数列值构成的矩阵的左上顶点对应的值：( n, f(n) )。

由图(a)可知，使函数值等于数列值构成的矩阵的右上顶点对应的值， $a_{n}$ 的前n项部分和(矩形面积的和)大于 $\int_{1}^{n+1}$ f(x) dx，所以 $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + $a_{4}$ + $a_{5}$ +···+ $a_{n}$ >= $\int_{1}^{n+1}$ f(x) dx。

由图(b)可知， $a_{n}$ 的前n项部分和(矩形面积的和)小于 $\int_{1}^{n}$ f(x) dx，所以 $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + $a_{4}$ + $a_{5}$ +···+ $a_{n}$

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