2015届高三文科数学模拟试题 |
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2015届高三文科数学模拟试题
来源:用户分享 时间:2023/4/20 5:50:44 本文由![]() ![]() 2015年高三联考数学(文科) 一、选择题 1.复数2?i2?i(i为虚数单位)的虚部为( ) A.35 B.45 C.35i D.45i 2.设集合???yy?lnx,x?1?,集合???xy?4?x2?,则A?(CRB)?( ) A.? B.?0,2? C.?2,??? D.???,?2??2,??? 3.设命题p:a??3,1?,b??m,2?,且a//b;命题q:关于x的函数y??m2?5m?5?ax(a?0且 a?1)是指数函数,则命题p是命题q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是( ) A.0 B.1 C.1?22 D.1?2 5.设等比数列?an?的前n项和为Sn,且S3?2,S6?6,则 a13?a14?a15的值是( ) A.18 B.28 C.32 D.144 6.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积等于( ) A.4 B.6 C.8 D.12
7.若函数y?ax?2?1(a?0且a?1)的图象经过定点??m,n?,且过点Q?m?1,n?的直线l被圆 C:x2?y2?2x?2y?7?0截得的弦长为32,则直线l的斜率为( ) A.?1或?7 B.?7或 43 C.0或43 D.0或?1 8.已知点??0,1?、???2,3?、C??1,2?、D?1,5?,则向量?C在?D方向上的投影为( ) A. 21313 B.?213131313 C.13 D.?13 9.已知函数f?x????1??3?2a?3??sinx???a?1??2??cosx,将f??x?图象向右平移?3个单位长度得到函数g?x?的图象,若对任意x?R,都有g?x??g?????4??成立,则a的值为( ) A.?1 B.1 C.?2 D.2 ?110.已知函数f?x????x2?x?0?若函数g?x??f?x??x?a在R上恰有两个相异零点,则实??f?x?1??x?0?数a的取值范围为( ) A.??1,??? B.??1,??? C.???,0? D.???,1? 二、填空题 11.命题:“存在x?R,使得x2?1?1?x2?0”的否定是 . 12.sin330??2?1?0?3log32? . ?x?413.若实数x,y满足约束条件??x?y?3?0,则2y的取值范围为 ??2x?y?6?0x?1 . 14.在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点.现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发,按如下线路沿顺时针方向爬过格点: ???1?1,0???2?1,?1???3?0,?1???4??1,?1?? ?5??1,0???6??1,1???7?0,1???8?1,1???9?2,1?? ?????12?2,?2???????16??2,?2???????20??2,2?? ?????25?3,2?????,则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点?350坐标为 . 15.若曲线C上任意一点与直线l上任意一点的距离都大于1,则称曲线C “远离”直线l.在下列曲线中,“远离”直线l:y?2x的曲线有 .(写出所有符合条件的曲线C的编号) ①曲线C:2x?y?5?0;②曲线C:y??x2?2x?94; ③曲线C:x2??y?5?2?1;④曲线C:y?ex?1; ⑤曲线C:y?lnx?2. 三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.已知函数f?x??4sinxcos?????x?6???1. (1)求函数f?x?的最小正周期; (2)在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)?2,a?3,S22???C?3求b?c的值. 17.某校高三文科(1)班学生参加“江南十校”联考,其数学成绩(已折合成百分制)的频率分布直方图如图所示,其中成绩分布区间为?40,50?,?50,60?,?60,70?,?70,80?,?80,90?, ?90,100?,现已知成绩落在?90,100?的有5人.
(1)求该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数; (2)根据频率分布直方图,估计该班此次数学成绩的平均分(可用中值代替各组数据的平均值); (3)现要从成绩在?40,50?和?90,100?的学生中共选2人参加某项座谈会,求2人来自于同一分 数段的概率. 18.已知各项均为正数的数列?an?满足an?2?2anan?2?4an?1?an(n???),且a1?1,a2?4. (1)证明:数列?an?是等差数列; (2)设bn?2n?1a,?bn?的前n项和为Sn,求证:Sn?1. nan?1 19.如图,圆柱OO1的底面圆半径为2,ABCD为经过圆柱轴OO1的截面,点P在弧AB上且弧 AP的长等于13弧APB,Q为PD上任意一点. (1)求证:AQ?PB; (2)若直线PD与面ABCD所成的角为30,求圆柱OO1的体积.
20.已知函数f?x??alnx??a?1?xx?1,其中a?0. (1)当a?1时,求曲线y?f?x?在?1,f?1??处的切线方程; (2)讨论f?x?在其定义域上的单调性.
21.已知椭圆C:x2y2ab(a?b?0)经过点???1,3?2?2?12??,它的左焦点为F(?c,0),直线l1:y?x?c与椭圆C交于A,B两点,?ABF的周长为a3. (1)求椭圆C的方程; (2)若点P是直线l2:y?x?3c上的一个动点,过点P作椭圆C的两条切线PM、PN,M、N分别为切点,求证:直线MN过定点,并求出此定点坐标.(注:经过椭圆x2y2a2?b2?1(a?b?0) 上一点?xxxyy0,y0?的椭圆的切线方程为0a2?0b2?1)
参考答案 BCAAC AADDB 10 B.g(x)?0?f(x)??x?a,当x???1,0?时,x?1??0,1?,f(x)?f(x?1)?x?1,故把y?x图象在?0,1?上的部分向左平移1个单位得到f(x)在??1,0?上的图象,再把f(x)在??1,0?上的图象每次向 左平移1个单位连续平移就得到f(x)在R上的图象,再作出y??x?a的图象,由图象可得?a?1, a??1,故选B 11.对任意x?R,都有x2?1?1?x2?0.12. 5?42 13.???5,4??? 14.??1,9? 以O为中心,边长为2的正方形上共有格点a1?8个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?1,1? 以O为中心,边长为4的正方形上共有格点a2?16个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?2,2? 以O为中心,边长为6的正方形上共有格点a3?24个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?3,3? ……… 以O为中心,边长为2n的正方形上共有格点an?8n个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?n,n?,由前 n个正方形上格点的总数Sn(8?8n)n?a1?a2?a3?…?an?8?16?24?…?8n?2?350得n?9.当n?9时,前9个正方形上格点的总数S9?9(8?72)2?360,且蚂蚁在第9个正方形(边长为18)上爬过的最后一个格点为A360?9,9?,故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点A350坐标为??1,9?. 15.②③⑤ 对①:d?522?1?1,?不合题意; 对②:设直线l21:y?2x?b与曲线C:y??x?2x?94相切,把y?2x?b代入y??x2?2x?94得x2?94?b?0,由??0?4??9?9?4?b???0,得b??4,此时直9线l与l的距离d?48115?80?1,符合题意; 对③: 圆心C?0,5?到直线l的距离d?0?55?5,?圆C上的点到l距离的最小值为5?1?1,符合 题意;对④:设曲线C上斜率为2的切线的切点为P?x0,y0?, y'?ex, ?k?y'0x?x0?ex?2,?x0?ln2,?P?ln2,3?,切线:y?3?2?x?ln2?,即:2x?y?3?2ln2?0, ?切线与C的距离d?3?2ln23?ln45?5,ln4??1,2?,?3?ln4??1,2?,而5?2,?d?1,不合 题意;对⑤:设切点为P?x0,y0?, y'?1x, ?k?y'1x?x0?x?2,?x?1,?P??1,?2?ln2??,?d?1?ln2?2?3?ln20?1,02?2?55符合题意。 16.解:(I) f?x??4sinx???cosxcos?6?sinxsin??6?2??1=23sinxcosx?2sinx?1 =3sin2x?cos2x?2sin???2x???6?? …………3分 ?T?2?2?? …………5分 (II) f?A??2sin???2A??????6???2,?sin??2A?6???1, 又0?A??,??6?2A??13?6?6,?2A??6??2,A??6 …………7分 S?1?ABC2bcsinA?3,?bc?43…………9分 又 a2?32?b2?c2?2bccosA?b2?c2?12,?b2?c2?21 …………12分 17.解:(I)该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数为 50.010?10?50(人)………3分 (II)平均分x?45?0.06?55?0.16?65?0.20?75?0.28?85?0.20?95?0.10 ?2.7?8.8?30?21?9.5?72(分) …………7分 (Ⅲ) 成绩在?40,50?中共有0.006?10?50?3(人),记为a,b,c …………8分 成绩在?90,100?中共有0.010?10?50?5(人),记为1,2,3,4,5 总的基本事件有?a,b?,?a,c?,?a,1?,???,?4,5?共28个,其中2人来自同一分数段的基本事件有 ?a,b?,?a,c?,?b,c?,?1,2?,?1,3?,???,?4,5?共13个 ………11分故概率P?1328 ……12分 18.(Ⅰ) an?2?2anan?2?an?4an?1且an?0 ?(a2n?2?an)?(2an?1)2 ?an?2?an?2an?1 …………3分 ??an?是首项为a1=1,公差为a2?a1?1的等差数列 ………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得an?1?(n?1)?1?n,an?n2 …………7分 ?b2n?1n?n2?n?1?2?1n2?1?n?1?2……………………9分 ?S?1?1122?1111n2?232?…?n2??n?1?2 ?1??n?1?2?1 ……12分 19.证明:(I)连接PA,AB为O的直径,?PA?PB…1分 又 AD?面PAB,PB?面PAB,?PB?AD ……2分 D O 又PA?AB?A,?PB?面PAD …………4分 C 又AQ?面PAD,?AQ?PB …………5分 (II)过点P作PE?AB,E为垂足,连结DE, Q E O1 OO1?面PAB,?面ABCD?面PAB,?PE?面ABCD …………6分 A B ??PDE就是直线PD与面ABCD所成的角,? ?PDE?30 …………8P 分 又 ?AP?1?3APB,?O1E?1,PE?3, 又 tan?PDE?PEDE 第19 题 ?DE?3,AD?DE2?AE2?32??2?1?2?22 ……11分 ?V?Sh???22?22?82? …………13分 20.(Ⅰ)当a?1时,f(x)?lnx?2xx?1,f/(x)?12(x?1)?2xx?(x?1)2?1x?2(x?1)2……2分 ?f/(1)?1?12?12,又f(1)??1 ?切线方程为y?(?1)?1132(x?1)即y?2x?2……5分 (Ⅱ)f(x)的定义域为(0,??), f/(x)?a(a?1)(x?1)?(a?1)xax2?(a?1)x?ax?(x?1)2?x(x?1)2 ……6分 ①当a?0时,f/(x)??xx(x?1)2??1(x?1)2?0 ?f(x)在(0,??)上单调递减 …… 7分 ②当a?0时,设g(x)?ax2?(a?1)x?a(x?(0,??)) (a)当??(a?1)2?4a2??3a2?2a?1?0即a?13时,f/(x)?0,?f(x)在(0,??)上单调递增…9分 (b)当???3a2?2a?1?0即0?a?11?a??3a2?2a?13时, 由g(x)?0得x?2a (1?a)2?(?3a2?2a?1)?4a2?0 ?0?x1?a??3a2?2a?11?a??3a2?2a?11?2a?x2?2a ?当x?(0,x1)和(x2,??)时,f/(x)?0, 当x?(x1,x2)时,f/(x)?0, ?f(x)单调递增区间为(0,x1)和(x2,??),f(x)单调递减区间为(x1,x2) ………… 12分 综上,当a?0时,f(x)单调递减区间为(0,??); 当0?a?13时,f(x)单调递增区间为(0,x1)和(x2,??),单调递减区间为(x1,x2); 当a?13时,f(x)单调递增区间为(0,??) …………13分 21. (Ⅰ)由题意得:4a?a3,a2?4,a?2 …………2分 3 又椭圆C过(1,32)点,?1(2)224+b2?1……3分?b?3………5分 ?椭圆C的方程为x2y24?3?1 …………6分 (Ⅱ)c?1,l2:y?x?3 设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t?3) 则直线lx1xMP:?y1y?1………7分直线lxxy2y43PN:24?3?1 …………8分 又P(t,t?3)在上述两切线上, ?x1ty1(t?3)x4?3?1,2ty(t?3)4?23?1 ?直线ltx(t?3)yMN:4?3?1……10分即:(3x?4y)t?12y?12?0 由??3x?4y?0?4得???12y?12?0?x??3 ?直线MN过定点,且定点坐标为(4,?1) ?y??13…13分
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