首先要知道空间直角坐标系与球坐标系的基本转化关系。

\(x=r\sin \theta \cos \phi,y=r\sin \theta \sin \phi,z=r\cos \theta,x^2+y^2+z^2=r^2\)\((r\in [0,+\infty ),\theta \in[0,\pi ],\phi \in[0,2\pi ]\))

然后注意到，波函数\(\Psi (r,\theta ,\phi )＝R(r)Y(\theta,\phi )\)

R函数中，都含有一个r^(n-1)项。而Y函数则是：可以发现，可以将角θ和角φ用x、y、z、r替换。如：\(Y_{xy}=\sqrt{\frac{15}{16\pi }}\sin^2\theta\sin2\phi=\sqrt{\frac{15}{16\pi }}\sin \theta \sin \theta \cdot 2\sin\phi\cos\phi=\sqrt{\frac{15}{4\pi }}(\sin \theta \cos\phi)(\sin \theta \sin\phi)=\sqrt{\frac{15}{4\pi }}\frac{x}{r}\frac{y}{r}=\sqrt{\frac{15}{4\pi }}\frac{xy}{r^{2}}\)又如：\(Y_{x^{2}-y^{2}}=\sqrt{\frac{15}{16\pi }}\sin^2\theta\cos2\phi=\sqrt{\frac{15}{16\pi }}\sin^2 \theta (\cos ^2\phi -\sin ^2\phi)=\sqrt{\frac{15}{16\pi }}[(\sin\theta\cos\phi)^2-(\sin\theta\sin\phi)^2]=\sqrt{\frac{15}{16\pi }}\frac{x^{2}-y^{2}}{r^2}\)（两个例子中均用了二倍角公式，以及乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）

完整的波函数是R函数和Y函数的积，为：

R函数中的r^(n-1)恰好（藏在σ中）与Y函数中分母位置的r^(n-1)约掉，显示出诸如xy、x^2-y^2的部分（也有可能分子部分也有r，那么就留下了），或者说，波函数是轨道名称与另外一些东西的乘积。

而d轨道中有一个是\(3z^2-r^2\)，我们一般简写为\(3z^2\)，当然也有人会写出完整，如：（图片来源：M. Kim, X. M. Chen, Y. I. Joe, E. Fradkin, P. Abbamonte, and S. L. CooperPhys. Rev. Lett. 104(2010), 136402）

f轨道也是，1L图片中的最后一个可以写为完整的\(5z^3-3zr^2\)，也可以简写为\(z^3\)。

一般s轨道与角度无关，公式中不体现出三角函数，所以转换为直角坐标后也没有x、y、z（为零次项的）；p轨道转化为直角坐标后为一次项的、d轨道为二次项的、f轨道为三次项的……。如果有错误，欢迎指正。