实变函数习题解答(2)

2022-09-29 04:06| 来源: 网络整理| 查看: 265

本文针对

的习题做解答. 这部分的内容在整个实变函数论学习中并不是重点.

练习4.3.1 A\subseteq\mathbb{R}^n 是开集当且仅当对任意 B\in\mathbb{R}^n 都有

\quad A\cap c(B)\subseteq c(A\cap B)

证明先证充分性. 取 B=A^c , 则由条件有 \quad A\cap c(A^c)\subseteq c(A\cap A^c)=\varnothing 从而 A\subseteq c(A^c)^c=i(A) , 故 A 是开集. 再证必要性. 任取 x\in A\cap c(B) , 存在 B 中的序列 \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}^+} 收敛于 x\in A . 由于 A 是开集, 存在 x 的邻域 (x-\delta,x+\delta)\subseteq A . 由序列收敛的定义, 存在 N 使得当 n>N 时都有 |x-x_n|n>N , 则 x_n\in A\cap B , 因此自然有 x\in c(A\cap B) . 这样就证明了 A\cap c(B)\subseteq c(A\cap B) .

练习4.3.2 称 A\subseteq\mathbb{R}^n 是孤立点集, 若 A\cap d(A)=\varnothing . 证明:

(1) 任何孤立点集都是可数集.(2) 所有孤立点集构成的集合基数为 \aleph .提示 (1) 用反证法, 利用上一节[1]的练习3.9. (2) 容易证明更强的结果: 基数为 \aleph 的集合中所有可数子集构成的集族的基数为 \aleph (利用[1]中的引理1).

练习4.3.3 构造 \mathbb{R} 中的一列子集 A_n ( n\in\mathbb{N}^+ )使得对任意 n\in\mathbb{N}^+ , 都有

\quad A_{n+1}=d(A_n)\ne A_n

提示考虑 A_1=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{n+\sum_{i=1}^{\infty}{\varepsilon_i2^{-i}}:\varepsilon_i\in\{0,1\} 且至多有n+1个\varepsilon_i等于1\}

练习4.3.4 对\mathbb{R}的子集 A , 证明: A 是 G_\delta 集当且仅当存在函数 f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 使得 A 恰好是 f 全部连续点的集合.

见[2]. 推论不存在 f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 使得 f 恰好只在所有有理点处连续.

练习4.3.5 设 f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 是连续函数, 则 f 所有可导点的集合是 F_{\sigma\delta} 集.

证明只需证明 f 所有不可导点的集合(设为 D )是 G_{\delta\sigma} 集. 显然 D=A\cup B\cup C , 其中 \quad A=\{a\in\mathbb{R}:\varliminf_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}r-\frac{1}{k}\} 由于 f 是连续函数, 可知 G(n,k) 是开集, 因此 M(r) 是 G_\delta 集. 同理可证明 \quad N(r)=\{a\in\mathbb{R}:\varliminf_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq r\} 是 G_\delta 集. 因此 A 是 G_{\delta\sigma} 集, B 和 C 都是 G_\delta 集, 进而 D 是 G_{\delta\sigma} 集.

练习4.3.6 设 f_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} 是一列连续函数且逐点收敛于 f . 证明:

(1) 若 G\subseteq\mathbb{R} 是开集, 则 f^{-1}(G) 是 F_\sigma 集.(2) f 全部连续点的集合是一个稠密 G_\delta 集.证明 (1) 不失一般性, 可设 G=(0,1) . 易得 \quad f_k^{-1}[\varepsilon,+\infty) 是闭集, 从而 \quad f^{-1}(0,+\infty)=\bigcup_{\varepsilon\in\mathbb{Q}^+}\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f_k^{-1}[\varepsilon,+\infty) 是 F_\sigma 集. 同理可证 f^{-1}(-\infty,1) 是 F_\sigma 集, 从而 \quad f^{-1}(G)=f^{-1}(0,+\infty)\cap f^{-1}(-\infty,1) 是 F_\sigma 集(有限个 F_\sigma 集的交还是 F_\sigma 集). (2) f 在点 a 处连续当且仅当存在有理数 p,q 使得 \quad f(a)\in (p,q) 且存在序列 \{a_i\} 使得 \quad \lim_{i\rightarrow\infty} a_i=a,f(a_i)\notin(p,q),i\in\mathbb{N}^+ 从而也等价于 \quad a\in d(\mathbb{R}^n-f^{-1}(p,q)) 因此易得 f 全部不连续点的集合为 \quad \bigcup_{p,q\in\mathbb{Q}\\\ p

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