2021年高考全国乙卷数学(理)高考真题及答案解析 (原卷+解析卷) |
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绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数. 【详解】设,则,则, 所以,,解得,因此,. 故选:C. 2. 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得,由此可得出结论. 【详解】任取,则,其中,所以,,故, 因此,. 故选:C. 3. 已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性,由指数函数的知识确定命题的真假性,由此确定正确选项. 【详解】由于,所以命题为真命题; 由于在上为增函数,,所以,所以命题为真命题; 所以为真命题,、、为假命题. 故选:A. 4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得, 对于A,不是奇函数; 对于B,是奇函数; 对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数; 对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数. 故选:B 【点睛】本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题. 5. 在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至,将直线与所成的角转化为与所成的角,解三角形即可. 【详解】 如图,连接,因为∥, 所以或其补角为直线与所成的角, 因为平面,所以,又,, 所以平面,所以, 设正方体棱长为2,则, ,所以. 故选:D 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得. 【详解】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案, 故选:C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解. 7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表达式; 解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象, 根据已知得到了函数图象,所以, 令,则, 所以,所以; 解法二:由已知的函数逆向变换, 第一步:向左平移个单位长度,得到的图象, 第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象, 即为的图象,所以. 故选:B. 8. 在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设从区间中随机取出的数分别为,则实验的所有结果构成区域为,设事件表示两数之和大于,则构成的区域为,分别求出对应的区域面积,根据几何概型的的概率公式即可解出. 【详解】如图所示: 设从区间中随机取出的数分别为,则实验的所有结果构成区域为,其面积为. 设事件表示两数之和大于,则构成的区域为,即图中的阴影部分,其面积为,所以. 故选:B. 【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题,解题关键是准确求出事件对应的区域面积,即可顺利解出. 9. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点,,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高( ) A. 表高 B. 表高 C. 表距 D. 表距 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出. 【详解】如图所示: 由平面相似可知,,而,所以 ,而, 即=. 故选:A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式,围绕所求目标进行转化即可解出. 10. 设,若为函数的极大值点,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否编号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到所满足的关系,由此确定正确选项. 【详解】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故. 有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的. 当时,由,,画出的图象如下图所示: 由图可知,,故. 当时,由时,,画出的图象如下图所示: 由图可知,,故. 综上所述,成立. 故选:D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 11. 设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,由,根据两点间的距离公式表示出,分类讨论求出的最大值,再构建齐次不等式,解出即可. 【详解】设,由,因为,,所以 , 因为,当,即时,,即,符合题意,由可得,即; 当,即时,,即,化简得,,显然该不等式不成立. 故选:C. 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值,利用二次函数求指定区间上的最值,要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值. 12. 设,,.则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定,对于a与c,b与c的大小关系,将0.01换成x,分别构造函数,,利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性,结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,b与c的大小关系. 【详解】, 所以; 下面比较与的大小关系. 记,则,, 由于 所以当0 |
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