好久没有写高等的文章了,今天百忙中抽出一些时间记录下最近的心得。临近考试,也没有太多空余的时间进行整理。 首先是1道选择题,设函数 f ( x ) = cos ⁡ ( s i n x ) , g ( x ) = sin ⁡ ( c o s x ) f(x)=\cos(sinx),g(x)=\sin(cosx) f(x)=cos(sinx),g(x)=sin(cosx),问函数单调性。 当 x ∈ ( 0 , π 2 ) x\in(0,\frac{\pi}{2}) x∈(0,2π​)时。 由函数 f ( u ) = c o s u f(u)=cosu f(u)=cosu和 g ( u ) = sin ⁡ u g(u)=\sin u g(u)=sinu在区间 u ∈ ( 0 , π 2 ) u\in (0,\frac{\pi}{2}) u∈(0,2π​)上分别递减和递增,因此对于 f ( x ) = c o s ( s i n x ) f(x)=cos(sinx) f(x)=cos(sinx),由于sinx递增,而cosx递减,因此f(x)单调递减。同理,cosx递减,而sinx递增,因此g(x)也单调递减。 接着是另1个选择题,已知 lim ⁡ x → ∞ ( x 2 x + 1 − a x − b ) = 0 \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{2}}{x+1}-ax-b\right)=0 limx→∞​(x+1x2​−ax−b)=0,求a和b的值。 直接通分可得 f ( x ) = x 2 − a x ( x + 1 ) − b ( x + 1 ) x + 1 = ( 1 − a ) x 2 − ( a + b ) x − b x + 1 f(x)=\frac{x^{2}-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}=\frac{(1-a)x^{2}-(a+b)x-b}{x+1} f(x)=x+1x2−ax(x+1)−b(x+1)​=x+1(1−a)x2−(a+b)x−b​

因为函数极限存在,因此有 { 1 − a = 0 a + b = 0 \begin{cases} 1-a=0\\ a+b=0\\ \end{cases} { 1−a=0a+b=0​,即 a = 1 , b = − 1 a=1,b=-1 a=1,b=−1。 接着来看1个选择题,当 x → 0 x\to 0 x→0时, ( 1 + a x 2 ) 1 3 − 1 (1+ax^{2})^{\frac{1}{3}}-1 (1+ax2)31​−1与 c o s x − 1 cosx-1 cosx−