二次函数的图像与性质

文 吴文忠

一、列举4组典型二次函数的图像

1、y=ax2型，如：

。查看：图像

2、y=ax2+c型，如：

。查看：图像

3、y=a(x-h)2型，如：

。查看：图像

4、y=a(x-h)2+k型，如：

。查看：图像

二、y=ax2型的图像性质

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a > 0

向上

(0,0)

y轴

x>0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0

向上

(0,c)

y轴

x>h时，y随x的增大而增大；x

a0时，y随x的增大而减小；x 0

向上

(h,0)

x=h

x>0时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x

注意：这一型的二次函数形式，揭示了函数图像的“左加右减”的规律。如：y=2(x-1)2、y=2(x+1)2、y=2(x+2)2

五、y=a(x-h)2+k型的图像性质

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a > 0

向上

(h,k)

x=h

x>h时，y随x的增大而增大；x

a < 0

向下

(h,k)

x=h

x>h时，y随x的增大而减小；x

六、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c(如：y=2x2-4x+5)化为顶点式y=a(x-h)2+k(如：y=2(x-1)2+3)，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)。

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，如：y=2x2+3x+4；

2. 顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，如：y=2(x-5)2+3；

3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)，如：y=2(x-1)(x+3).

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。

八、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较

从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

，其中

。比如说：y=2(x-1)2+3和y=2x2-4x+5

九、二次函数y=ax2+bx+c的性质

1. 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为

，顶点坐标为

。

当

时，y随x的增大而减小；当

时，y随x的增大而增大；当

时，y有最小值

。

2. 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之，a的值越小，开口越大；比如：y=3x2+5x-9和y=x2+5x-9

⑵ 当a0的前提下，

当b>0时，

，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

当b=0时，

，即抛物线的对称轴就是y轴；

当b