这一期是一个预备篇。之后你就会知道它有什么用了。

域的概念较为复杂。如果你想了解它的定义我建议你直接百度。在这一期专栏里，我希望你把域理解的一个对加减乘除封闭的集合。

简单地说，域内的任何数经历有限次的和域内的数加减乘除后所得的数仍在域内。

比如说有理数集合Q。任意两个有理数进行加减乘除都只能得到有理数。因此我们说有理数集构成一个域。常见的域有复数域、实数域、有理数域等。

开平方运算对域来说是个神奇的东西。

比如对有理数域内的2进行开平方运算所得的数就不属于有理数域了。

在根号2的存在下有理数被扩张为新的域。

这个域包含形如a+b根号2，a，b∈Q的数。

可以证明这个数域是包含Q和根号2最小的数域(这块和我要说的没关系就不证了)，记作Q（根号2）

这样啊，对2开平方就可以把有理数域扩张为Q(根号2)

类似地我们还可以对Q(根号2)进行扩张。

比如对3开根号扩张为Q(根号2)(根号3)

这种扩张我们叫做单扩张。

你会注意到我举了两个数作例子。2和3。而1和4作为它们紧挨着的数却没有被提及。为什么呢？因为根号1和根号4属于有理数域，这样的数不能扩张有理数域。

为了衡量扩张的大小，我们又引入了维数这个概念。

我们说Q到Q(根号2)的扩张是二维的。

因为我们从Q(根号2)中取出两个数1和根号2后，Q(根号2)中的所有数都可以用a×1+b×根号2，a，b∈Q表示。

是不是和向量中的基底很相似。

类似地，Q到Q(根号2)(根号3)的扩张是四维的。

但Q(根号2)到Q(根号2)(根号3)的扩张是二维的。

发现区别了吧。

而且你发现没有，a对b的维数×b对c的维数=a对c的维数。

然后是与维数相关的一个概念，次数。

自然还是以根号2为例。

我们知道根号2是定义在Q上的二次方程x²=2的根，并且Q上不存在比这个方程次数还小的多项式方程的解是根号2。

这时我们称根号2在Q上的次数为2。

我们给方程x²=2移项，使方程右边为0得到x²-2=0。

这时方程右边的多项式称为根号2在Q上的极小多项式。

然后就是二者的关系了。

对于单扩张来说，注意我只说单扩张。

扩张的维数恰好等于新加入数对于原数域的次数。

由于根号下某个数要么是一次的要么是二次的，因此利用开平方运算只能进行一维或二维扩张。