宋浩老师《线性代数》笔记（第二章矩阵）（二）

目录

2.4 逆矩阵 

2.5 分块矩阵

2.6 初等变换

2.7 矩阵的秩

1. 方阵与行列式之间的转换有以下性质

性质1：|A^T|=|A|

性质2：|KA|=K^n|A|

性质3：|AB|=|A|·|B| 

2. 伴随矩阵（只有方阵才有伴随矩阵）

求解法则（按行求，按列放） 

定理1：（证明这个定理需要的用到异乘变零定理）对任何方阵A都成立 

伴随矩阵补充：

3. 定义

A为n阶方阵，在互为方阵B中，AB=BA=E，A^(-1)=B

注意：未必所有的方阵均可逆。如果可逆，矩阵则唯一

 推论：只用一个就可验证

4. 求逆矩阵的方法

        1. 伴随矩阵法(计算量较大)

        2. 初等变换法(常用)

        后面单独会讲

5. 逆矩阵的性质

1. 标准形

2. 分块矩阵做加法

3. 分块矩阵求转置

1. 矩阵初等变换与行列式变换对比

2. 等价：A经过初等变换之后得到B，A等价于B（反身性 、对称性 、 传递性）

3.初等方阵：对E做一次初等变换得到的矩阵（交换两行 、用k（k！=0）乘以某行、某行的H倍加到某一行）

性质： 

        下面这个是这样理解的：一个矩阵通过左（右）乘一个初等方阵来进行初等行（列）变换 

为什么要引入初等方阵，就是为了让初等变换变得一个数学计算的过程。

4.定理：

推论：如果AB等价，存在可逆P，Q。PAQ=B

5.使用初等变换求逆矩阵

解题思路（只做行变换）

例题：

1. 秩

取1阶子式，2阶子式···一直取到最大的子式，然后最大的非零子式就表示矩阵的秩

用结构的来理解秩。用 r（A）= 5表示

注意：

定理：

所有r+2阶子式也为0，因为高阶展开为低阶，低阶为0 ，高阶必为0

2. 阶梯形矩阵

3. 行简化阶梯形

使用初等行变换，将矩阵变成阶梯形，然后矩阵的秩等于行简化阶梯的行数。

4. 秩的性质

左乘表示做初等行变换，又乘表示初等列变换，所以秩不变

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