在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间，区间长（测度）有公认的定义。当然我们这里不局限于实数集或者欧氏空间，而把讨论对象放在一般集合上。先是有一个全集\(X\)做为基本空间，测度只定义在\(X\)的某些子集上，由\(X\)的某些子集组成的集合称为集类，这里用黑体字母表示\(\mathbf{E}\)。

　　假设在\(X\)的某个简单集类上已经有公认的度量（测度）定义\(\mu(E)\)，它必须符合以下3个常识性的限定：（1）\(\mu(\Phi)=0\)；（2）\(\mu(E)\geqslant0\)；（3）式（1）的可加性。这3个简单直观的限定其实包含了众多具有度量性质的函数，比如个数、长度、质量、概率等。可加性结合第一条的空集为0，可以自由推导出子集的交、并、差的测度，也就是说测度对有限的集合运算是封闭的，任何对测度的扩充也应当对这些运算封闭。

\[E_i\cap E_j=\Phi\;\Rightarrow\;\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}E_i\right)=\bigcup_{i=1}^{n}\mu(E_i)\tag{1}\]

　　有限运算把测度限制在了简单集类上，我们要做的就是捅破“有限”这层窗户纸，但又不能捅得太过。上一篇中强调了可列无穷的特殊意义，它是无穷中最接近有穷的存在，数学归纳法是有穷到可列无穷的桥梁。现在很自然的一步就是要把简单集类先扩展到对可列个运算的封闭，其实不难证明，只需要对可列个并封闭就行了，即如果\(\mathbf{E}\)对可列个并以及有限个交、差封闭，那么它对可列个交、差、并封闭。定义好了集类的可列封闭性，还需要把式（1）的可加性扩展到式（2）的可列可加性，结合前两条性质，这既是我们对测度的基本要求。

\[E_i\cap E_j=\Phi\;\Rightarrow\;\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right)=\bigcup_{i=1}^\infty\mu(E_i)\tag{2}\]

　　上面的封闭性描述比较繁琐，教材上把“在有限并、差上封闭的集类”（等价于在并、交上封闭）称为\(X\)上的环，包含\(X\)的环也叫\(X\)上的域。简单推敲一下会发现，这个定义并不符合代数上环和域的要求，但单纯为了表述简单，以下仍沿用这两个名词。再比如任意集类\(\mathbf{E}\)对环（域）条件的闭包（包含\(\mathbf{E}\)且满足条件的最小集类）称为的张成环（域），一般记作\(\mathbf{R}(\mathbf{E})\)（\(\mathbf{F}(\mathbf{E})\)）。当然我们更关注的是满足可列可加性的环（域），它被称为\(\sigma\)-环（\(\sigma\)-域），以及相应的有张成\(\sigma\)-环（\(\sigma\)-域），记作\(\mathbf{S}(\mathbf{E})\)（\(\mathbf{F}(\mathbf{E})\)）。

　　在考虑测度的性质时，我们只需狠狠地盯住上面的三个特征，它就是单纯的一个“量”，数量、重量等。可列可加性也只是单纯的“叠加”，并不对子集之间的空间布局有任何要求。从这3个特征出发，不难得到测度的一些基本特征，这里不再罗列。但要特别提醒一点：某些特征需要避开\(\mu=\infty\)的情景，以免产生逻辑漏洞。另外，当\(\mathbf{R}\)是一个\(\sigma\)-环，请自行证明式（3~5），其中式（4~5）要求存在\(k\)使得\(\mu\left(\underset{i=k}{\overset{\infty}{\bigcap}}E_i\right)