矩阵的特征值和特征向量的性质 |
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什么是特征值和特征向量
A为一个N阶方阵, 满足上述等式,则称 注:1、方阵才有特征值、特征向量,非方阵没有 2、特征向量 3、设 4、对于 证: 所以 所以可以得出, 并且,其中的任意两个 5、若 即 如何求特征值 意味着 意味着 不满秩的充要条件,有 向量的行列式为0,则该向量不满秩 最后,由 如何求特征值对应的特征向量 将上述 可以分别求出其解 特征值和特征向量的一些性质 1、 A矩阵特征值的和,等于A矩阵,主对角线上元素的和,叫做矩阵A的迹 证明: 寻找 2、 A矩阵特征值的积,等于A的行列式 证明: 令 3、不同特征值的特征向量之间,一定线性无关 证明: 设
使用数学归纳法 当n=1时, 当n=s-1时,设 当n=s时,如果可以证得 即证明 我们将等式左乘矩阵A,因为k是数值可以移到左边去,然后根据 然后我们将 减去上面的等式 得 这里面 我们已经知道 就意味着 ... 因为 将k1到ks-1的值代回到 得到 所以ks也为零 我们就解出了 不同特征值的特征向量之间,一定线性无关 4、A的k重特征值 如果 5、A矩阵逆的特征值为 证明: 这不就是定义么 6、A矩阵的伴随矩阵的特征值为 证明:很简单, 7、kA(A为矩阵)的特征值为 证明:很简单 8、 证明:也很简单,跟上面差不多 不断的将A的次方脱下来,可以得到 9、若f(A)是A矩阵的一个多项式函数,那么f(A)的特征值为 证明:还是依靠定义,其实就跟上述的8一样的操作 10、 证明:使用求特征值的公式 所以他们的解应该是完全一样的 11、 证明: 即 |
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