2013年考研数二第17题解析:二重积分的计算 |
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题目
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 $\iint_{D} x^{2} dxdy.$ 解析本题就是一般情况下二重积分的计算问题。计算二重积分,首先就要画出积分区域 $D$, 为了方便接下来的绘图,我们可以对题目给出的三个直线的函数做一下变换: $$\left\{\begin{matrix}x=3y;\\y=3x;\\x+y=8.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{1}{3}x;\\y=3x;\\y=-x+8.\end{matrix}\right. ①$$ 通过对 $①$ 中的三个函数式两两联立,可以求得它们之间交叉点的坐标,并据此画出区域 $D$ 的示意图,如图 01 所示: ![]() 观察图 01 可知,我们可以令 $x=2$ 这条线(红色线)作为分界线,将区域 $D$ 划分成 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 两个区域,分别积分,之后再求和即可。 于是: $$D_{1} = \int_{0}^{2} x^{2} dx \int_{\frac{x}{3}}^{3x} dy \Rightarrow$$ $$\int_{0}^{2} x^{2}(3x-\frac{x}{3}) dx \Rightarrow$$ $$\frac{8}{3} \int_{0}^{2} x^{3} dx \Rightarrow$$ $$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} |_{0}^{2} \Rightarrow$$ $$\frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{32}{3}.$$ $$D_{2} = \int_{2}^{6} x^{2} dx \int_{\frac{x}{3}}^{8-x} dy \Rightarrow$$ $$\int_{2}^{6} x^{2}(8-x-\frac{x}{3}) dx \Rightarrow$$ $$8 \int_{2}^{6} x^{2} dx – \frac{4}{3} \int_{2}^{6} x^{3} dx \Rightarrow$$ $$8 \cdot \frac{1}{3} x^{3} |_{2}^{6} – \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4}|_{2}^{6} \Rightarrow$$ $$\frac{8}{3}(216-8) – \frac{1}{3}(1296-16) = 128.$$ 于是: $$\iint_{D} x^{2} dxdy =$$ $$\iint_{D_{1}} x^{2} dxdy + \iint_{D_{2}} x^{2} dxdy =$$ $$\frac{32}{3} + 128 = \frac{416}{3}.$$ 相关文章: 在 Windows 10 上优化 CodeBlocks 外观 (主题 + 字体) 2012年考研数二第06题解析 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 2011年考研数二第21题解析:二重积分、分部积分 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理 2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 2018年考研数二第06题解析 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2018年考研数二第19题解析:条件极值、拉格朗日乘数法 2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限 2013年考研数二第21题解析:平面曲线的弧长、平面图形的形心 2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点 2017年考研数二第15题解析:变限积分、洛必达法则、无穷小 2013年考研数二第06题解析 2011年考研数二第06题解析 [高数]有关变限积分求导的几种形式 2016年考研数二第17题解析:利用偏导数求函数极值 2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示 2019年考研数二第15题解析:复合函数求导、分段函数、极值、极限 2018年考研数二第16题解析:变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理 2018年考研数二第23题解析:矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵 |
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