承接上文，已经将数据码全部编好，下面讲解纠错码怎么得到的，但是纠错的得到过程较为复杂，必须先弄明白这些背景知识，才能在求解纠错码上进退自如。

3.纠错编码：

背景知识：

1.Galois（2ⁿ）有限域：基元α=2；

在这个域里α的所有指数次方都会与1-255中的一个值对应，笔者将该值称作域值，或简称值，而α的指数，笔者就简称为指数；

那么就有，指数的取值范围为0-254，域值的取值范围为1-255，各有255个值，交错不重复对应，构成一个单射。比如看这两个分别按指数和域值排序的对应表的部分截图：

那么指数和域值是如何对应的呢？

首先，看到下图，指数0-7与域值的对应是符合常理的，

那么，指数8对应的域值怎么求呢，由于2^8已经大于255，那么我们将其与285作异或运算（XOR）运算得到指数8应对应的域值，注意这里的XOR运算是对二进制而言的，285的二进制是1 0001 1101，而2^8的二进制是1 0000 0000；

所以每一个二进制位对应作异或运算后得到：0 0001 1101；也就是29；

所以指数8对应的域值就是29；

那么指数9的域值是多少呢？

那么有2^9=2*2^8；那么指数9的域值就等于29*2=58了，但是注意了，这是建立在结果是处于域值范围的情况，如果得到的域值大于255，那么我们就将其与285作XOR运算，得到的值就是域值；我们再举例，2^10=2*2^9；所以指数10的域值就是58*2=116了；那么，指数得到的域值，凡是域值大于255时，我们就将其与285作XOR运算。

那么就这样，我们一直到指数为254，算出它的域值为142，这时，如果我们按照推算的规则，推算指数为255的域值，我们会发现它的域值恰好为1，恰好与指数0的域值相同。那么我们可以得出结论：当指数超过255时，它的域值就等于指数对255求余的余数的域值，也就是说指数m，假如m>=255，那么指数m应立即变为m%255，以这种方式来阻止指数超过254，而域值是通过对285作XOR运算来阻止域值超过255；

2.Galois有限域内的乘法，

α^m*α^n=α^(m+n)，

当然这还是建立在m+n不超过254的前提上的，而超过了，就将其对255求模，这里的指数和前面介绍的指数性质一样，α^(m+n)的值就是指数m+n对应的域值。

3.纠错的数学原理：

假如我们现在的数据码字（每8位二进制一个码字）都求出来了，共有9位，分别设为a1,a2,a3…a9；那么我们将其放入一个9*1的矩阵当中，再将其与一个12*9的预先准备好的矩阵作矩阵乘法，如图：

那么假如现在我们是将得到的12*1的矩阵作为信息存进二维码，并且a2,a6,A2三个数据出现问题了，我们该怎么得到原来的九个数据码字呢？

我们先对两个矩阵做如下相应变化，把出问题的数据给删掉。

然后原来的矩阵运算式就变为：

那么我们再求出中间的这个9*9的矩阵的逆矩阵，并把等式两边都与这个逆矩阵作乘法，那么就得到等式：

那么我们就可以根据这个等式将原来的信息算出来了，但是注意，当缺少的码字超过3时，我们就算不出来了，也就是丢失的码字不能过多，具体上限与事先定义与原码字矩阵作运算的矩阵的规模有关，这也就和我们二维码的纠错等级相对应啦。好了，这就是我们纠错码能纠正错误的数学原理，也就是著名的Reed-Solomon算法，这里我们是从矩阵角度来讲述它，其他很多关于它的解说并不如此，他们大多是从多项式入手，以致枯燥难懂，计算伴随式也很复杂，但是从矩阵方面来看，矩阵最开始就是与解多项式方程而生的，其实本质还是一致的。那么我们纠错码的数学原理，就讲到这了，不过，如果你只是想自己算出纠错码字，数学原理，你不懂也没关系，下篇文章我们具体介绍纠错码字的计算方法。

Galois有限域的指数和域值的对应关系附录q如下：

Galois Field的基元α的指数 Galois Field的值

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 29

9 58

10 116

11 232

12 205

13 135

14 19

15 38

16 76

17 152

18 45

19 90

20 180

21 117

22 234

23 201

24 143

25 3

26 6

27 12

28 24

29 48

30 96

31 192

32 157

33 39

34 78

35 156

36 37

37 74

38 148

39 53

40 106

41 212

42 181

43 119

44 238

45 193

46 159

47 35

48 70

49 140

50 5

51 10

52 20

53 40

54 80

55 160

56 93

57 186

58 105

59 210

60 185

61 111

62 222

63 161

64 95

65 190

66 97

67 194

68 153

69 47

70 94

71 188

72 101

73 202

74 137

75 15

76 30

77 60

78 120

79 240

80 253

81 231

82 211

83 187

84 107

85 214

86 177

87 127

88 254

89 225

90 223

91 163

92 91

93 182

94 113

95 226

96 217

97 175

98 67

99 134

100 17

101 34

102 68

103 136

104 13

105 26

106 52

107 104

108 208

109 189

110 103

111 206

112 129

113 31

114 62

115 124

116 248

117 237

118 199

119 147

120 59

121 118

122 236

123 197

124 151

125 51

126 102

127 204

128 133

129 23

130 46

131 92

132 184

133 109

134 218

135 169

136 79

137 158

138 33

139 66

140 132

141 21

142 42

143 84

144 168

145 77

146 154

147 41

148 82

149 164

150 85

151 170

152 73

153 146

154 57

155 114

156 228

157 213

158 183

159 115

160 230

161 209

162 191

163 99

164 198

165 145

166 63

167 126

168 252

169 229

170 215

171 179

172 123

173 246

174 241

175 255

176 227

177 219

178 171

179 75

180 150

181 49

182 98

183 196

184 149

185 55

186 110

187 220

188 165

189 87

190 174

191 65

192 130

193 25

194 50

195 100

196 200

197 141

198 7

199 14

200 28

201 56

202 112

203 224

204 221

205 167

206 83

207 166

208 81

209 162

210 89

211 178

212 121

213 242

214 249

215 239

216 195

217 155

218 43

219 86

220 172

221 69

222 138

223 9

224 18

225 36

226 72

227 144

228 61

229 122

230 244

231 245

232 247

233 243

234 251

235 235

236 203

237 139

238 11

239 22

240 44

241 88

242 176

243 125

244 250

245 233

246 207

247 131

248 27

249 54

250 108

251 216

252 173

253 71

254 142