真的那么神秘吗？

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揭开神秘学的面纱，

掌握宇宙的法则，

成为智慧的拥有者。

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142857，一个看似普通的数字，却被认为是世界上最奇特的数、最恐怖的数、最诡异的数，因为它有如下的特性：

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

142857 × 7 = 999999

看出来了吗？当它跟1~6相乘时，得到的结果中包含的数字还是142857中的几个数字，只是顺序发生了变化，而且还不是随机的变化，是在转圈。而乘以7时，变成了999999。

如果继续往下乘的话，你还会发现其它特性。网上因而对这个数充满了各种猜测，有的说这个数跟人的七个器官有关系，有人说一周七天就是这么来的，还有的说这个数字出现在金字塔里，所以金字塔是外星人建造的。（顺便提一下，这个数字出现在金字塔里这种说法是一些人随便编造的，并没有官方的报道。）

01

探索内在规律

笔者并不相信这些猜测，而是觉得一定存在某个内在的规律。但苦思多日，不得线索。就在一筹莫展之际，笔者突然想起，在编写大整数计算器的时候，曾经算过1/7，结果里有142857 的影子。于是赶紧验证一下，果然1/7 = 0.142857142857…… （无限循环下去）。

于是我断定这个数与1/7是有关联的。到网上查了一下，的确早就有人有过这样的怀疑了，但是却没有严格的证明。这让我兴奋异常，我想我一定要找到它们之间的关系。

首先我用短除法检查1/7为什么是个无限循环小数。我发现，1除以7，它的余数依次为：1、3、2、6、4、5、1、3、2、6、4、5……，一直循环下去，对应的商则是1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……，同样一直循环下去，如下图所示：

从这个规律，我们很容易推出：

2/7 = 0.285714285714……

3/7 = 0.472851472851……

4/7 = 0.571428571428……

5/7 = 0.714285714285……

6/7 = 0.857142857142……

注意，上面5个式子的值，不是用1/7 的值乘出来的，也不是重新用短除法算出来的，而是从1/7 的余数和商的规律中找出来的。比如，2/7 的值，就是从余数为2的地方开始的（其实，这类似于用短除法求2/7）。

从这些无限循环小数中，我们似乎看到了文章开头的那些表达式的影子，但是这些是无限循环小数，文章开头的那些等式是有限的自然数，两者不能就此划上等号。要证明两者有关联，我们需要严格的证明。

让我们把1/7的值做个变换：

1/7 

= 0.142857142857……

= 0.142857 + 0.000000142857 + ……

= 0.142857 × (1 + 0.000001 + ……)

对于2/7，我们有同样的变换：

2/7

= 0.285714 × (1 + 0.000001 + ……)

把上面两个式子相除，右边约去相同的部分，得到：

1/2

= 0.142857/0.285714

= 142857/285714

经变换得到：142857 × 2 = 285714

这样，我们就从1/7和2/7的值，得到了文章开头的其中一个式子。注意，我们没有用142857乘以2，是用 1/7和2/7的值的关系推出来的，而2/7的值也不是算出来的，是用1/7推出来的，所以这个等式仅仅与1/7相关。

我们可以用同样的方式得到其它乘以3~6 的等式。

接下来，我们继续来证明最后一个等式，也与1/7有关。

在等式1/7 = 0.142857 × (1 + 0.000001 + ……)中，后面的部分是个等比数列的和，利用极限公式，我们得知，1 + 0.000001 + …… = 1/0.999999，注意这里是严格的等于，而不是约等于。所以：

1/7 

= 0.142857/0.999999

= 142857/999999

经变换得到：142857 × 7 = 999999

至此，我们已经证明了，文章开头的等式，全部与1/7 有关，而这个数就是1/7的循环节。

02

揭开神秘面纱

那么，大家可能要问了，这个证明的意义在哪里？那些等式根本不需要证明啊，他们是毫无疑问成立的。

其实不然，这个证明的意义很大。因为，当我们发现了那些等式是跟1/7有关联的，那我们就可能利用这个性质找到其它的具有类似特性的神秘数。

于是，我开始从1/1开始，分别查看1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/8、1/9、1/10，发现都没有什么花头。继续往下查看，到了1/13，发现这个数字可能有点花样。

1/13 = 0.076923076923……

观察1/13的余数，发现他们以1、10、9、12、3、4 这样的顺序循环，联想到1/7，我推出：

3/13 = 0.230769230769……

4/13 = 0.307692307692……

9/13 = 0.692307692307……

10/13 = 0.76923076923……

12/13 = 0.92307692307……

因而推断出它们也具有类似文章开头的那些特性：

1 × 076923 = 076923

3 × 076923 = 230769

4 × 076923 = 307692

9 × 076923 = 692307

10 × 076923 = 769230

12 × 076923 = 923067

经过验证，这些等式的确是成立的。

但有一点美中不足的是，相乘的这些数不是连续的。

于是，我继续往下寻找，在找到1/17时，我的眼睛一亮，因为这个数的循环节有16位，直觉告诉我，这个数乘以1~16时，其各位是循环的。

1/17 = 0.05882352941176470588235294117647……

经验证，下面的等式成立：

1 × 0588235294117647 = 0588235294117647

2 × 0588235294117647 = 1176470588235294

3 × 0588235294117647 = 1764705882352941

……

16 × 0588235294117647 = 9411764705882352

17 × 0588235294117647 = 9999999999999999

我如获至宝，赶紧到网上去查这个数，发现这个数其实早被其他人发现了，而且人们还给这样的数起了个名字：循环数，并且有这样的性质：如果p是一个质数，1/p的循环节有p-1位，那么这个循环节所表示的数，就是一个循环数。

利用这个性质，人们已经发现了以下的循环数：

052631578947368421 (18位)

0434782608695652173913 (22位)

0344827586206896551724137931 (28位)

0212765957446808510638297872340425531914893617 (46位)

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58位)

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60位)

我并没有因为别人早就发现了这些数字而感到沮丧，想想看，如果不是我自己通过找规律找到了1/17，我又怎么会知道“循环数”这个概念呢？世界上的知识有千千万，我们不能总是等着别人来告诉我们，也不能总是期望哪一天会不期而遇学到一些知识，只有你主动去发现，你才能学到比别人多得多的知识，就像文章开始讲的，成为智慧的拥有者。

利用我自己编写的大整数计算器，我继续找到了：

014925373134328358208955223880597014925373134328358208955223880597（66位）

0140845070422535211267605633802816901408450704225352112676056338028169（70位）

甚至还有400位以上的：

0020366598778004073319755600814663951120162932790224032586558044806517311608961303462321792260692464358452138492871690427698574338085539714867617107942973523421588594704684317718940936863543788187372708757637474541751527494908350305498981670061099796334012219959266802443991853360488798370672097759674134419551934826883910386965376782077393075356415478615071283095723014256619144602851323828920570264765784114052953156822810590631364562118126272912423625254582484725050916496945010183299389（490位）

想想看，这么大的数字，它乘以1~490时，结果是这些数字在循环。这的确是很神奇的，远比142857更不可思议！

但另一方面，我们已经找到了它们的规律，现在它们不再那么神秘了。

编者按：

本文作者为《有趣的数学》的主讲老师沈根成。《有趣的数学》是格蠹科技推出的一个公益课程，面向所有人开放，且不需要编程基础。这个课程的目的是激发大家对数学的学习兴趣，因为数学是其它一切科学的基础。

目前，《有趣的数学》已经直播了两讲，我们已经把第一讲和第二讲的录播课程放到盛格塾里。为鼓励大家参与直播，录播会收取少量费用，有需要看录播的，可以按照以下方式购买获取。

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下节课将为大家讲解一些十六进制和二进制的知识，但并不牵涉到编程。沈老师认为，随着计算机的普及，十六进制和二进制今后将是所有人必须学习的知识，即使你不懂编程，不做编程的工作，也要理解十六进制和二进制。沈老师将用一种普通人也能听得懂的方式，为大家讲解，欢迎大家到时积极参与。具体时间请大家关注微信群。也请大家把这个消息转发给你们的朋友，让更多的人可以享受到这个福利。

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课程参与方式：腾讯会议

主讲老师

沈根成

Victor Shen

复旦大学数学系毕业，后一直从事软件编程工作，先后在宏碁、纬创、惠普、微福思等公司任职，为国内第一批通过 Sun 公司认证的 Java 程序员，并同时精通C/C++、C#、.Net 等多种编程语言，参与过占市场绝对领导地位的企业级压力测试软件 Load Runner 的开发与管理工作，并做过多次产品培训、高效沟通培训、新人入职培训，具有丰富和极具特色的授课经验。

联合讲师

张银奎

Raymond Zhang

格蠹科技创始人，微软全球最有价值技术专家（MVP），同济大学电子与信息工程学院特邀讲师，前英特尔亚太研发有限公司软件架构师。《软件调试》、《格蠹汇编》的作者，新版《十万个为什么》电子分册撰稿人之一，《程序员》杂志调试之剑栏目作者 。1996年毕业于上海交通大学信息与控制工程系，在软件产业工作20年，在多家跨国公司历任开发工程师、软件架构师、开发经理、项目经理等职务，对 IA-32 架构、操作系统内核、驱动程序、虚拟化技术、云计算、软件调优、尤其是软件调试有较深入研究。

从2005年开始公开讲授“Windows内核及高级调试”课程，曾在微软的Webcast和各种技术会议上做过《Windows Vista内核演进》、《调试之剑》（全球软件战役研究峰会）、《感受和思考调试器的威力》（CSDN SD2.0大会）、《Windows启动过程》、《如何诊断和调试蓝屏错误》、《Windows体系结构——从操作系统的角度》（以上三个讲座都是微软“深入研究Windows内部原理系列”的一部分）等。翻译（合译）作品有《现代x86汇编语言编程》、《21世纪机器人》、《观止——微软创建NT和未来的夺命狂奔》、《数据挖掘原理》、《机器学习》、《人工智能：复杂问题求解的结构和策略》等。

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