算术序列和几何序列 – 序列和模式 – Mathigon |
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序列和模式算术序列和几何序列阅读时间: ~25 min 在1682年,天文学家埃德蒙·哈雷发现了一个不寻常的现象:一个发光的, 有一条长长尾巴的白色物体,在夜空中移动。它是一颗__彗星__,一块在太空中飞行时留 着一道冰尘尾巴的小冰石。 哈雷记得其他天文学家早就观察到类似的彗星:一次在1530年,另一次在1606年。注意, 这些观察结果之间的差距是相同的: 年。 哈雷彗星图片,1986年拍摄于复活节岛 哈雷得出结论: 这三次观测结果实际上都是同一颗彗星 — 现在被称为__哈雷彗星__。 它围绕太阳运行,大约每76年经过一次地球。他还预测了彗星下一次出现的时间: 1530, 1606*{span.arrow}+76*, 1682*{span.arrow}+76*, 1758*{span.arrow}+76*, +76, +76, +76, … 事实上,该时间间隔不总是__精准__的76年: 它可能有1或2年的变化,因为彗星的运行 轨道受到其它行星的干扰。今天我们知道哈雷彗星早在公元前240年就被古代天文学家观 测到了! 哈雷彗星在时间上的分布:巴比伦的石碑(公元前164年)、中世纪的挂毯(1070年代)、科学杂志(1910年)和苏联的邮票(1986年)。 另一组科学家正在调查一个有弹性的网球的行为。他们把球从10米的高度扔下,并测量 了它随时间变化的位置。每次弹跳,球都会损失原来的一部分高度: 科学家们注意到,每次弹跳后,球会失去其高度的20%。换句话说,每次弹跳的最大高度 是前一次弹跳的80%。这使他们能够预测以下每一次弹跳的高度: 10, 8*{span.arrow}×0.8*, ×0.8, ×0.8, 4.096*{span.arrow}×0.8*, 3.277*{span.arrow}×0.8*, 2.621*{span.arrow}×0.8*, 2.097*{span.arrow}×0.8*, … 定义如果你比较这两个问题,你可能会发现有许多相似之处:哈雷彗星的序列在相邻项之间 有相同的,而网球的反弹在相邻项之间有相同的。 具有这些属性的序列有个特殊名称: 一个算术序列在相邻项间有一个常数__{.m-red}差d__。 各项加上或减去同一个数字后,可以得到它的下一项。 一个几何序列在相邻项间有一个常数__{.m-green}比率r__。 各项乘以或除以同一个数字后,可以得到它的下一项。 下面是几个不同的序列。你能确定哪些是算术序列、哪些是几何序列,哪些两个都不是? 能进一步确定它们的_{.b.m-red}d_值或_{.b.m-green}r_值吗? 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 是 , 比率为 . 2, 5, 8, 11, 14, 17, … 是 , 差为 . 17, 13, 9, 5, 1, –3, … 是 , 差为 . 2, 4, 7, 11, 16, 22, … 是 . 40, 20, 10, 5, 2.5, 1.25, … 是 , 比率为 . 要定义一个算术序列或几何序列,我们不仅要知道公有的差或比率,还要知道初项值(称为a)。 在这里,你可以通过更改a、_d_和_r_的值来生成自己的序列,并将它们的值绘制在图 表上。你能找出任何模式吗? 算术序列a = ${a}, d = ${d} ${arithmetic(a,d,0)}, ${arithmetic(a,d,1)}, ${arithmetic(a,d,2)}, ${arithmetic(a,d,3)}, ${arithmetic(a,d,4)}, ${arithmetic(a,d,5)}, … 几何序列a = ${b}, r = ${r} ${geometric(b,r,0)}, ${geometric(b,r,1)}, ${geometric(b,r,2)}, ${geometric(b,r,3)}, ${geometric(b,r,4)}, ${geometric(b,r,5)}, … 注意,所有__{.m-red}算术序列__看起 来非常相似: 如果差为正,则它们稳定地;而如果差为负,则它们稳定地 。 另一方面,几何序列会由于a和r的不同值而 展现出完全不一样的曲线行为。 如果 , 则后面项将, 直到无穷。数学家称该序列发散. 如果 之间, 后面项将总是 . 我们称该序列收敛. 如果,则后面项将在正数和负数之间交替,而它们的 将变大。 关于收敛和发散你将在本课的最后一节 学习更多。 递归和显式公式在上一节中,你学到一个递归公式通过用前面项的函数 来告知你每个项的值。以下是算术序列和几何序列的递归公式: xn= xn= 递归公式有一个问题是找到一个项的值可能会花费很长时间,例如要找到第100项,我们 首先必须计算前面的99项。相反,我们可以尝试找到一个显式公式, 它直接告诉我们第n项的值。 对于 算术序列, 我们需要在每一步加 d : x1= a x2= a+d x3= a+d+d x4= x5= 在第 n 项, 我们加了 个同样的 d, 所以通项公式是: xn=a+d×n−1. 对于 几何序列, 我们每步乘以_r_: x1=a x2=a×r x3=a×r×r x4= x5= 在第n项, 我们乘了 个同样的 r, 所以通项公式是 xn=a×rn−1. 以下是到目前为止你所看到的所有定义和公式的摘要: 一个__{.m-red}算术序列__有个首项a,在相邻的项之间有共同的差d。 递归公式: xn=xn−1+d 显式公式: xn=a+d×n−1 一个__{.m-green}几何序列__有个首项a,在相邻的项之间有共同比率r。 递归公式: xn=xn−1×r 显式公式: xn=a×rn−1 现在让我们来看一些能够使用所有这些知识的例子! 让爱传出去这是电影_让爱传出去_的一个简短片段,12岁的特雷弗在其中解释了他让世界变得更好的想法: 节选自“让爱传出去” (2000), ©华纳兄弟娱乐特雷弗的想法的本质是,如果每个人都“让爱传出去”,那么一个人就可以对世界产生巨大 的影响: 注意每一步的人数是如何形成一个具有比率__的。 1, 3*{span.arrow}×3*, 9*{span.arrow}×3*, ×3, ×3, ×3, … 使用几何序列的显式公式,我们可以计算出在任何步骤中 有多少新用户受到影响: xn = 人数增长得惊人之快。在第10步中,你将达到19683个新的目标,在22步之后,你将到达 比现在存活地球的人还多。 这个数字序列有一个特殊的名字:3的幂。如你所见,每一项实际上只是3的不同 次幂: 30, 31, 32, 33, 34, 35, … 谁想成为百万富翁?敬请期待! 棋盘问题敬请期待! 要显示更多内容,您必须完成以上所有活动和练习。 你被卡住了吗? 跳到下一步 要么 显示所有步骤 接下来:形数 |
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