浮点数的计算机表示（IEEE 754），由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内容有所讲解。与课程中直接抛出公式与概念不同，我想首先与各位探讨"科学计数法"这个概念，进而讨论设计二进制的科学计数法需要涉及到哪些元素。接着，我们讨论如何在内存上表达这个方案。最后讨论计算机的具体实现。

我们都了解科学计数法。科学计数法的精妙之处在于，其将"量级"与"数值"两个信息拆分，让使用者对这两个信息更加明确。 12345 = 1.2345 × 1 0 4 12345 = 1.2345 \times 10^4 12345=1.2345×104

如上，我们可以将任何有理数拆分成 A = B × 1 0 C A=B \times 10^C A=B×10C的形式。值得注意的是：

对于任何有理数，我们都可以用两个范围狭小（规则明确）的数字 B 与 C 来表示。

此外，我们知道，十进制只不过是记录数字大小的一种方式而已。历史上出现过的二进制、三进制、二十进制，都可以毫无障碍地表示数字，并且还有其独具的数学特性。

那么，二进制可以用科学计数法表示吗？答案当然是肯定的。

A 2 = B 2 × 1 0 2 C A_2 = B_2 \times 10_2^C A2​=B2​×102C​

注意，这里下标2，代表这个数是二进制。 同理， 1 0 2 10_2 102​对应十进制中的数字 2 = 2 1 × 1 + 2 0 × 0 2=2^1 \times 1 + 2^0 \times 0 2=21×1+20×0。

通过观察十进制的科学计数法形式，对于二进制，我们自然可以做出如下约定：

这里我们补充说明一下，二进制的小数是什么样的。对于 5.25 5.25 5.25 这个十进制数，如果要将其转换为二进制：

关于进制转换的具体方法与背后的数学原理，我写过一篇文章进行讨论，见这里：十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制的手算方法，及其数学原理的通俗解释。

这里，我们只需要明确，二进制是存在小数形式的，且可以表示一切十进制可表示的数（的近似）。

接着，我们步入正题：只会表示0/1的计算机，如何记录并表达浮点数呢？

给一个32位的空间，如果不做任何约束，我们只能将其理解为一个整数，并且其取值范围为 [ 0 , 2 32 − 1 ] [0, 2^{32}-1] [0,232−1] 。

这是因为，计算机只能记录 0 和 1 这两个信息，并不能直接记录小数点点在哪里。因此，我们需要设置一定规则，取出一定位，用于表示小数点点在哪里。这必将牺牲一定的精度与取值范围。

因此，我们将这 32 位空间分为三部分：

在 IEEE 754 中，我们分别将上述一、二、三部分叫做尾数M，阶码E，符号s。 于是我们有了二进制的表达式： V = ( − 1 ) s × M × 2 E V=(-1)^s \times M \times 2^E V=(−1)s×M×2E

为了表示尽可能多的、常用的小数，我们有如下需求：

可以注意到，对于 M 、 E ，我们并不能直接用二进制表示，还需要设定一定规则。

假设尾数 M 一共有 f 位，则 f 可表示的整数取值范围为 [ 0 , 2 f − 1 ] [0, 2^f - 1] [0,2f−1] ，我们称 f 直接对应的非负整数为 C 。为了将其投影到 [ 0 , 1 ) [0, 1) [0,1) ，我们做出如下变换： M = 1 + C 2 f M=1+\frac{C}{2^f} M=1+2fC​

假设解码 E 一共有 e 位，则 e 可表示的整数取值范围为 [ 0 , 2 e − 1 ] [0, 2^e - 1] [0,2e−1] ，我们称 e 直接对应的非负整数为 Exp 。我们希望 E 可以取到负数，因此做出如下变换： E = E x p − ( 2 e − 1 − 1 ) E = Exp - (2^{e-1}-1) E=Ex