证明 因为
λ
\lambda
λ 是
A
\boldsymbol{A}
A 的特征值,所以有
p
≠
0
\boldsymbol{p} \ne 0
p=0 使
A
p
=
λ
p
\boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}
Ap=λp。于是,当
A
\boldsymbol{A}
A 可逆时,因为
A
p
=
λ
p
\boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}
Ap=λp,所以
p
=
λ
A
−
1
p
\boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p}
p=λA−1p 因为
p
≠
0
\boldsymbol{p} \ne 0
p=0,所以
λ
≠
0
\lambda \ne 0
λ=0。从而上式两边可以同除
λ
\lambda
λ,有
A
−
1
p
=
1
λ
p
=
λ
−
1
p
\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} = \frac{1}{\lambda} \boldsymbol{p} = \lambda^{-1} \boldsymbol{p}
A−1p=λ1p=λ−1p 从而
1
λ
\frac{1}{\lambda}
λ1 是
A
−
1
\boldsymbol{A}^{-1}
A−1 的特征值。得证。
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