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中小学教育资源及组卷应用平台整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、平方差公式(1)平方差公式：即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，如右图(2)常见的平方差公式的变化形式· 位置变化：(b＋a)(－b＋a)=(a＋b)(a－b)=a2－b2· 符号变化：(－a－b)(a－b)=－(a＋b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2· 系数变化：(2a＋3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2－9b2· 指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4二、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：左边是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是：相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．[命题角度1] 平方差公式【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算【例1】下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】 直接应用平方差公式进行计算【例2】利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1) (3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型三】 平方差公式的连续使用【例3】求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】 应用平方差公式进行简便运算【例4】 利用平方差公式简算：20×19； (2) 13.2×12.8.解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．【类型五】 化简求值【例5】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题【例6】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n为正整数，∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．【类型七】 平方差公式的实际应用【例7】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．【类型八】 平方差公式的几何背景【例8】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．1．(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25； (2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；2.计算:(1) 51×49； (2)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)。解: (1)原式=(50＋1)(50－1)= 502－12=2500 – 1=2499(2)原式=(3x)2－42－(6x2＋5x－6)= 9x2－16－6x2－5x＋6= 3x2－5x－10.3.利用平方差公式计算:(1) (a－2)(a＋2)(a2＋4) (2) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).(1)解：原式=(a2－4)(a2＋4)=a4－16.(2)解：原式=(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)=(x4－y4)(x4＋y4)=x8－y8.4.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2当x＝1，y＝2时，原式＝5x2－5y2＝5×12－5×22＝－15.5.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2－1.n为正整数，∴n2－1为整数即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．解：(1)1－xn＋1(2)①－63 ②2n＋1－2 ③x100－1(3)①a2－b2 ②a3－b3 ③a4－b41、2、3、知识清单能力拓展课后训练知识小结课后反思21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、平方差公式(1)平方差公式：即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，如右图(2)常见的平方差公式的变化形式· 位置变化：(b＋a)(－b＋a)=(a＋b)(a－b)=a2－b2· 符号变化：(－a－b)(a－b)=－(a＋b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2· 系数变化：(2a＋3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2－9b2· 指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4二、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：左边是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是：相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．[命题角度1] 平方差公式【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算【例1】下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)【类型二】 直接应用平方差公式进行计算【例2】利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．【类型三】 平方差公式的连续使用【例3】求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．【类型四】 应用平方差公式进行简便运算【例4】 利用平方差公式简算：20×19； (2) 13.2×12.8.【类型五】 化简求值【例5】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题【例6】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？【类型七】 平方差公式的实际应用【例7】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？【类型八】 平方差公式的几何背景【例8】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．1．(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．2.计算:(1) 51×49； (2)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)。3.利用平方差公式计算:(1) (a－2)(a＋2)(a2＋4) (2) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).4.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.5.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．1、2、3、知识清单能力拓展课后训练知识小结课后反思21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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