背景

复习c++的时候遇到二进制编码问题，上网搜索了一番，终于有点眉目。 一般来说，初学二进制编码时，会看到如下描述：

原码表示法是机器数的一种简单的表示法。其符号位用0表示正号，用：表示负号，数值一般用二进制形式表示。

机器数的反码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的反码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的反码是对它的原码（符号位除外）各位取反而得到的。

机器数的补码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的补码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的补码是对它的原码（除符号位外）各位取反，并在未位加1而得到的。

如果是为了考试，死记即可。但我总想搞清楚为什么计算机里面的数要这样子表达？意义何在？-128的补码为什么是10000000？为什么补码有这么奇怪的运算规则？计算机算减法的时候都需要从源码到补码的计算吗？

google了一下，看到了这样一篇文章，注意到文中关于补码来历的描述，可以总结如下：

两者的结果是一样的。这里称12为“模”。故有 3时 - 6个小时 = 3时 + （12 - 6个小时），这里可以看到将减法转换成加法的过程，即“加上模减去绝对值的差”。

所以，假设模是10，有效位数为1，当我们计算 9 - 7 的时候：9 - 7 => 9 + (10 - 7) = 12，去掉最高的位后，得到2，这是正确的结果。从9 - 7 = 2 和 9 + （10 - 7） = 12可以凭后者比前者多“1”来看出前者中“7”的正负号。

作者的意思是说，计算机里面所有数都以补码形式保存，加减运算都是补码之间的加法运算。然后作者提出了一个我之前没听过的观点：

补数 和 补码的定义式 里面，根本就没有什么符号位。这最高位的1、0是自然出现的，并不是由人来规定的。

的确，符号位在补码运算里面是“模”，本身并不带符号的意义。因为计算机将加法转换成加上一个“负数”，而负数又以补码的形式表现。补码比源码多一位，从这多出来的一位可以推断出原来数字的正负号，所以成为了符号位。也可以这样认为，留出一位（不全部占满）的原因是要用“模”来表示正负数。

也就是说，不是特意留出一个符号位，用1和0来表示正负号。而是补码运算可以用最高位来表示正负，所以符号位诞生了。

那么为什么-128的补码是10000000？可以这样理解。-128是一个负数，所以它的补码是它的“模”减去它的绝对值，即：

那么为什么负数补码等于源码的反码加一呢？可以这样推导：

由此我们得知，在计算机里面所有的数字都以补码形式存储。127存成01111111，-127存成11111111，算减法就变成算加法了，尽管你看到的是“-”号。

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今天读《计算机组成-结构化方法》后，对这个问题有了新的理解。

将负数用补码表示，实际上是实现了一种从[-128, 127]到[0, 255]的映射。如下所示：